Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7774] mines PSI 2016 On considère le polynôme \[P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4.\]

1. Trouver les racines de \(P\) parmi \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et factoriser \(P\) sous forme de produit d’irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Chercher les entiers \(n>0\) tels qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(P(M)=0\).

[concours/ex9929] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant, il existe \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).

[oraux/ex7397] polytechnique MP 2013 Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&1\cr0&1}\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex8895] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que telles que : \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\).

[planches/ex2196] mines PSI 2017 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(\{B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\) soit fini et non vide. Que dire du cardinal de cet ensemble ?

[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).

[planches/ex9058] escp S 2023 Soit \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.

Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), on désigne respectivement par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)=\left\{X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mid MX=0\right\}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)=\left\{MX\mid X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right\}\) le noyau et l’image de \(M\).

On dit qu’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) est involutive si \(M^2=I\) où \(I\) est la matrice identité d’ordre \(n\).

1. On considère une matrice involutive \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) sont supplémentaires. En déduire que \(A\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\in[[-n,n]]\). Étudier la parité de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\) en fonction de celle de \(n\).

   3. Que peut-on dire de plus sur les sous espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) lorsque \(A\) est aussi symétrique ?

      (\(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire canonique).

2. Dans cette question, on considère deux matrices involutives \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Développer et simplifier les produits \((A+B)(A-B)\) et \((A-B)(A+B)\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

   3. Prouver que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).

3. On se place dans le cas où \(n=2\) et on considère les matrices \[M=\pmatrix{0&1\cr1&0},\quad N_1=\pmatrix{1&0\cr0&0}\quad\hbox{et}\quad N_2=\pmatrix{-1&-1\cr1&1}.\]

   1. Existe-t-il \(Z\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\) qui soit solution de l’équation \(MZ-ZM=N_1\) ?

   2. On cherche maintenant à savoir s’il existe une matrice involutive \(A\) qui vérifie \(MA-AM=N_2\). Montrer que l’on a nécessairement \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\). En utilisant la question 2c déterminer l’ensemble des possibilités pour une telle matrice involutive \(A\).

   3. Si \(A\) et \(Z\) sont deux solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\) d’inconnue \(U\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\), que peut on dire de la matrice \(Z-A\) ? En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\).

[concours/ex9794] polytechnique PC 2009 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisables telles que \(A^2=B^2\) et \(A^3=B^3\). Montrer que \(A=B\). Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus \(A\) et \(B\) diagonalisables ?

[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

[planches/ex6871] mines PSI 2021 Diagonaliser \(A=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\) puis résoudre l’équation \(M^3+2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex9792] polytechnique PC 2009

1. Trouver une équation algébrique vérifiée par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4\pi/5)\).

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\). On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) est dans \(\mathbf{Q}\). Montrer que \(n\) est divisible par 4.

4. Réciproquement, si \(n\) est divisible par 4, montrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\in\mathbf{Q}\) et \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\).

[concours/ex9616] centrale PC 2006 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension 2 et \(u\in\mathscr{L}(E)\) diagonalisable. Résoudre l’équation \(v^2=u\) d’inconnue \(v\in\mathscr{L}(E)\). L’ensemble des solutions est-il fini ?

[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).

[concours/ex4663] escp courts 2004 Résoudre l’équation \(X^3=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[planches/ex4640] polytechnique MP 2019 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de polynôme minimal \(X^3+2X+2\). Même question dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\).

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[concours/ex5197] escp S 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} -5 & 3\\ 6 & -2\end{array}\right)\).

Soit \(n\in \mathbf{N}^*\). L’équation \(X^n=A\), d’inconnue \(X\in {\cal M}_2(\mathbf{R})\), admet-elle au moins une solution ?

[concours/ex6100] centrale PC 2007 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=A\).

[concours/ex8778] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\).