Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9128] hec courts S 2010

1. Soit \(n\) un entier \(\geqslant 2\) et \(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les termes diagonaux sont distincts.

   Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice telle que \(C^2=D\). Montrer que \(C\) est diagonalisable.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.

   Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A\).

   1. Montrer que \(B\) est diagonalisable.

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(B\) est vecteur propre de \(A\).

      En déduire qu’une base de vecteurs propres de \(A\) est aussi une base de vecteurs propres de \(B\).

   3. Application : trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex0694] ensae MP 1997 Déterminer les matrices \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^3-2X=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\10&4\end{array}\right)\).

[oraux/ex4761] escp S 2012 Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Soient \(A\) et \(R\) deux matrices carrées réelles d’ordre \(n\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) si \(R^2=A\).

1. 1. Soit \(\theta\) un réel quelconque et \(R(\theta)\) la matrice : \(R(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta & \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta &- \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta\end{array}\right)\).

      Calculer le carré de cette matrice et en déduire que la matrice identité d’ordre \(2\) admet une infinité de racines carrées.

   2. Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n’a pas de racine carrée.

2. 1. Donner le développement limité à l’ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de \(t \mapsto \sqrt{1+t}\).

   2. Soit \(N\) une matrice carrée d’ordre \(n\) telle que \(N^4=0\). Déduire de la question précédente une racine carrée de la matrice \(I+N\).

3. Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbf{R}^n\). On suppose que \(f\mathbin{\circ} g= g\mathbin{\circ} f\) et que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles distinctes.

   1. Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).

   3. Justifier que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.

   4. Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\). Combien \(A\) admet-elle de racines carrées ?

[examen/ex0816] navale PC 2023 On considère les deux matrices \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\) et \(A=\pmatrix{-1&0\cr10&4}\).

1. Quelles sont les racines réelles de \(X^3-2X+1\) et \(X^3-2X-4\) ?

2. Trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui commutent avec \(D\).

3. Résoudre \(M^3-2M=D\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

4. Résoudre \(M^3-2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex6957] mines PC 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(v\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme surjectif dont le noyau est une droite vectorielle.

1. Donner un exemple d’un tel endomorphisme si \(E=\mathbf{R}[X]\).

2. L’espace \(E\) peut-il être de dimension finie ?

3. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=v\).

[concours/ex5587] mines MP 2007 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\1&0&&&\vdots\\ 0&1&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente de rang \(n-1\). Montrer que \(A\) est semblable à \(M\).

2. Soit \(J(\lambda)=\lambda I_n+M\) avec \(\lambda\in\mathbf{C}\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits J(0)\). Montrer que \(J(\lambda)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(\mathscr{M}_n(\mathbf{R}))\) pour \(\lambda\in\mathbf{R}^*\).

[concours/ex9780] polytechnique MP 2009 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’indice impair.

[planches/ex2726] ccp PSI 2017 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex9919] polytechnique MP 2010 La matrice \(-I_2\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle un carré ? Une exponentielle ?

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).

[oraux/ex0019] centrale PC 2010 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]=\{P(M),\ P\in\mathbf{C}[X]\}\) et \(E=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. Vérifier que \(\mathbf{C}[M]\) est un \(\mathbf{C}\)-espace de dimension finie.

2. On suppose que la matrice \(M\) est diagonalisable et qu’elle possède \(p\) valeurs propres distinctes. Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ainsi que le cardinal de \(E\).

3. On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(E\).

[concours/ex8988] tpe MP 2010 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant : \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).

2. Caractériser les matrices \(M\).

[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]

[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).