Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3907] centrale PSI 2018

1. Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.

[concours/ex8982] centrale PC 2010 Déterminer toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=A=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\1&4&0\\1&1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex8312] mines PC 2022 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), \(X^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&1&0\cr1&0&4}\).

[oraux/ex4814] escp courts 2012 Trouver les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), ne possédant pas \(-1\) comme valeur propre, telles que \(M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

Indication : on pourra chercher un polynôme annulateur de \(M\).

[planches/ex4031] imt MP 2018 Soit \(A=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2+X=A\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}XP\) soient diagonales. Résoudre l’équation.

[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]

1. Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.

2. Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).

3. Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).

4. 1. Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).

   2. En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).

   3. En déduire que \(A = I_n\).

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[concours/ex4072] mines M 1990 Résoudre \(X^2=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right]\).

[concours/ex9535] mines PC 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \(\geqslant 1\).

1. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Dans le cas où les valeurs propres de \(A\) sont simples, trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\).

[concours/ex9847] mines PC 2009

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).

[concours/ex8413] ens paris MP 2005 Soit des entiers \(p>0\), \(n>0\) et \(m>2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose que \(A^p=I_n\) et \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer que \(A=I_n\).

[planches/ex7846] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant. Soit \(n\) un entier \({}\geqslant 2\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((P,n)\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[concours/ex1344] ens paris MP 1998 On pose \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{C})\) et \(D:\left\{\begin{array}{rcl} E&\rightarrow&E\\f&\mapsto&f'\end{array}\right.\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?

[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).

   On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.

3. Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).

[examen/ex0132] mines PC 2023

1. Soit \(u\) un endomorphisme. Prouver que pour tout \(k\in\mathbf{N}\) on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\) et que, si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+2})\).

2. Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R} [X]\) tel que \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(u\mathbin{\circ} u(P)=P'\) ?

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[oraux/ex7662] mines PSI 2015 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(a_{i,j}=1\) si \(i+j\) est pair, \(a_{i,j}=2\) sinon.

1. Trouver les valeurs et vecteurs propres de \(A\).

2. Résoudre \(X^2+2X=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).

[concours/ex9814] mines MP 2009

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?