[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).
[concours/ex9590]
Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).
Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.
[concours/ex9646] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et \(\Phi_{A,B}\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que : \(\forall M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(\Phi_{A,B}(M)=AM+MB\).
[concours/ex9646]
Déterminer la matrice de \(\Phi_{A,B}\) dans la base \((E_{1,1},\ldots,E_{1,n},E_{2,1},\ldots,E_{2,n},\ldots,E_{n,n})\).
Montrer que si \(A\) est semblable à \(C\) alors \(\Phi_{C,B}\) est semblable à \(\Phi_{A,B}\).
Exprimer les valeurs propres de \(\Phi_{A,B}\) en fonction de celles de \(A\) et \(B\).
Montrer l’équivalence entre :
\(\exists M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\setminus\{0\}\), \(AM=MB\) ;
\(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
[concours/ex5923] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\). On considère l’équation \((E)\) : \(AX=XB\), où l’inconnue \(X\) est dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex5923]
On suppose que \((E)\) possède une solution non nulle \(Y\).
Montrer, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), que \(P(A)Y=YP(B)\).
Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
On suppose que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
Montrer : \(\forall(M,N)\in(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\})^2\), \(\exists Q\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(MQN\neq0\).
Montrer que \((E)\) admet une solution non nulle.
[concours/ex1055] polytechnique MP 1998 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) définie par \(M\mapsto AM-MB\).
[concours/ex1055]
Soient \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\). Montrer que \(a-b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\).
Soient \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\) et \(N\in E_\lambda(f)\). Montrer que, pour tout \(Q\in\mathbf{C}[X]\), on a \(Q(A)N=NQ(B+\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n)\).
En déduire qu’il existe \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\) tels que \(\lambda=a-b\).
Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(M\neq0\) telle que \(AM=MB\) ?
[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).
[examen/ex0745]
Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.
On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).
Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).
Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).
Montrer que \(M\) est la matrice nulle.
Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?
[oraux/ex4672] hec S 2011
[oraux/ex4672]
Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?
Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.
Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).
En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).
Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).
Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).
Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).
Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?
Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).
Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.
[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).
[examen/ex0611]
On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).
Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.
Établir la réciproque.
[planches/ex7328] ccinp PSI 2021
[planches/ex7328]
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
Soient \(A\), \(B\), \(C\), dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(AC=CB\) et que \(C\neq0\). Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)C=CP(B)\).
Montrer qu’un produit de matrices est inversible si et seulement si tous ses facteurs le sont. En déduire que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.
Réciproquement, si \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune, montrer qu’il existe une matrice \(C\) non nulle telle que \(AC=CB\).
[concours/ex5920] centrale MP 2007 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow AX-XB\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex5920]
Soit \(\lambda\) (resp. \(\mu\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\lambda-\mu\) est valeur propre de \(f\).
Réciproquement, soit \(\alpha\) une valeur propre de \(f\). Montrer qu’il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et une valeur propre \(\mu\) de \(B\) telles que \(\alpha=\lambda-\mu\).
Donner une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(A\) et \(B\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM-MB=0\).
[oraux/ex7731] polytechnique MP 2016 Soient \((m,n)\in(\mathbf{N}^*)^2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(B\in\mathscr{M}_m(\mathbf{C})\), \(C\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\). Montrer que l’équation \(AX-XB=C\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\) possède une et une seule solution si et seulement si \(A\) et \(B\) n’ont pas de valeur propre commune.
[oraux/ex7731]
[concours/ex9734] centrale MP 2008 Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\). Établir l’équivalence des deux assertions suivantes :
[concours/ex9734]
\(\exists P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\), \(AP=PB\) ;
[oraux/ex7824] centrale PSI 2016 On considère les matrices \(A=\pmatrix{1&2&3\cr2&1&3\cr4&2&0}\) et \(B=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&-1}\).
[oraux/ex7824]
Étudier la diagonalisabilité de \(A\) et \(B\).
Soit \(C=\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MB\}\). Soit \(f\) la fonction qui prend en argument une liste de 9 éléments et dont le code est :
def f(x): X=np.array(x) X=X.reshape((3,3)) Y=A.dot(X)-X.dot(B) return(Y.reshape(9))
Décrire ce que fait la fonction \(f\). En déduire que l’ensemble \(C\) est une droite vectorielle engendrée par une matrice de la forme \(U{}^tV\) où \(U\), \(V\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).
On se place maintenant dans le cas \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose \(M\in C\). Montrer que \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\). Déterminer \(\chi_B(A)M\).
On suppose dans cette question que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\) (il s’agit ici de spectre complexe). Déterminer \(C\).
[oraux/ex7675] mines PC 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable telle que : \(\forall(\lambda,\mu)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)^2\), \(\lambda+\mu\neq0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AM+MA=0\). Montrer que \(M=0\).
[oraux/ex7675]
[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]
[oraux/ex7808]
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).
[oraux/ex8619] ccp PSI 2016
[oraux/ex8619]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant au moins une valeur propre commune.
Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbf{C}\) et \(X\), \(Y\in\mathbf{C}^n\) non nuls, tels que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\). En déduire qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(MA=BM\).
Trouver \(M\) pour \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\) et \(B=\pmatrix{3&1\cr0&1}\).
On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient \(A\), \(B\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(MA=BM\).
Montrer que si \(M\) est inversible alors \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.
Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), on a \(MP(A)=P(B)M\).
On suppose \(M\neq0\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.
[oraux/ex7646] polytechnique MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\) l’ensemble des valeurs propres complexes de \(M\). Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)<0\) et \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)\leqslant 0\). Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’équation \(C=XA+AX\) possède une et une seule solution.
[oraux/ex7646]
[oraux/ex7559] polytechnique, espci PC 2014 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{L}(E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune. Montrer qu’il existe \(\phi\in\mathscr{L}(E)\) de rang 1 tel que \(\phi\mathbin{\circ} f=g\mathbin{\circ}\phi\).
[oraux/ex7559]
[concours/ex0895] centrale MP 1997 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. On pose, pour toute matrice carrée réelle \(X\) de même taille : \[\Phi(X)=X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\,.\] Déterminer les éléments propres de \(\Phi\). Résoudre l’équation \(\Phi(X)=B\).
[concours/ex0895]
[planches/ex5698] ccinp PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle et \(\varphi:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\longmapsto X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\).
[planches/ex5698]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A)\) puis que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq-1\).
Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\).
[concours/ex9611] centrale PSI 2006 Soient \(E=\mathscr{M}_{2p}(\mathbf{R})\) et \(B=(B_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2p}\) où \(B_{i,j}=1\) si \(i=j\) ou si \(i+j=2p+1\), et 0 sinon. Soit \(\psi\) définie sur \(E\) par : \(\forall A\in E\), \(\psi(A)=A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)B\).
[concours/ex9611]
Montrer que \(\psi\in\mathscr{L}(E)\). Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\psi\).
Soit \(M\in E\). Résoudre \(\psi(X)=M\), d’inconnue \(X\in E\).
Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de \(\psi\).
[concours/ex9795] polytechnique PC 2009
[concours/ex9795]
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) et que \(n\) est pair.
On définit une loi de composition externe \(\bullet\) faisant agir \(\mathbf{C}\) sur \(\mathbf{R}^n\) par : \(\forall\ell=a+ib\in\mathbf{C}\) avec \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(\forall u\in\mathbf{R}^n\), \(\ell\bullet u=au+bAu\). Montrer que \((\mathbf{R}^n,{+},{\bullet})\) est un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel.
Soit \(n\) pair. Trouver une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\).
[planches/ex6940] mines PC 2021 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\) ?
[planches/ex6940]
[planches/ex9324] ens PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(d\in\mathbf{N}^*\) et \(f\in \mathscr{L}(E)\) telle que \(f\mathbin{\circ} f=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[planches/ex9324]
Donner un exemple d’application \(f\) vérifiant les hypothèses en dimension 2.
Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que \(E\) est de dimension paire.
Montrer qu’il existe \((e_1,\ldots,e_p)\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))\) soit une base de \(E\) avec \(d=2p\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.
[planches/ex6674] mines MP 2021 Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[planches/ex6674]
Trouver un exemple d’un tel endomorphisme en dimension 2.
Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle et que la dimension de \(E\) est paire.
On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2n\). Montrer qu’il existe une base de \(E\) de la forme \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\).
Écrire la matrice de \(f\) dans cette base. Énoncer une version matricielle du résultat démontré dans cet exercice.
[oraux/ex7737] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).
[oraux/ex7737]
Donner un exemple en dimension 2.
Montrer que les valeurs propres de \(f\) sont imaginaires pures. En déduire que la dimension de \(E\) est paire.
Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).
On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E)=2n\). Montrer l’existence d’une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).
Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.
[concours/ex1947] centrale MP 1999 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice carrée réelle \(A\) telle que \(A^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).
[concours/ex1947]
Montrer qu’une telle matrice est semblable à \(\left(\begin{array}{cc} 0&-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p\\\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p&0\end{array}\right)\).
[oraux/ex3584] polytechnique MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(A^2=-I_n\).
[oraux/ex3584]
[concours/ex5807] mines PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) où \(a_{i,i+1}=1\) pour \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\), les autres coefficients étant nuls.
[concours/ex5807]
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(B^2=A\) ?
[concours/ex0995] ccp MP 1997 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(K\). Soit \(f\) un endomorphisme nilpotent de \(E\).
[concours/ex0995]
Montrer que \(f^n=0\).
Montrer que \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-f\) est inversible.
Existe-t-il une matrice carrée \(A\) telle que \[A^2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right)\ ?\]
[planches/ex5153] mines PC 2019 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel non réduit à \(\{0\}\) et \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^3+f=0\).
[planches/ex5153]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f=E\).
Montrer que \(f\) est un automorphisme si et seulement si \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).
On suppose dans la suite que \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).
Soit \(x\in E\) avec \(x\neq0\). Montrer que \((x,f(x))\) est libre.
Soit \((x,y)\in E^2\). On suppose que \((x,f(x),y)\) est libre. Montrer que \((x,f(x),y,f(y))\) est libre.
Si \(E\) est de dimension finie, que peut-on dire de sa dimension ?
[ev.algebre/ex1108] Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(3\) et \(f\in\mathscr{L}(E)\setminus\{0\}\) tel que \(f^2=0\). Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right).\]
[ev.algebre/ex1108]
[oraux/ex5927] escp S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme non nul d’un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\), tel que : \[f^3+f=0.\] On admet que \(f\) possède au moins une valeur propre réelle.
[oraux/ex5927]
Montrer que \(E=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+id)\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 +\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}) \geqslant 1\). Soit \(x \in \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits (f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), \(x\neq 0\) ; montrer que \((x,f(x))\) est une famille libre de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).
Déterminer les valeurs propres de \(f\) et les dimensions des sous-espaces propres associés. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]
Résoudre l’équation \(u^2 = f\), où l’inconnue \(u\) est un endomorphisme de \(E\).
[concours/ex9890] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A\neq0\) et \(A^3+A=0\). Les matrices \(A^2\) et \(A\) sont-elles diagonalisables dans \(\mathbf{C}\) ? dans \(\mathbf{R}\) ? Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{array}\right)\).
[concours/ex9890]
[examen/ex0743] ccinp PSI 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(A^3+9A=0\).
[examen/ex0743]
Montrer que le spectre complexe de \(A\) est inclus dans \(\{0,3i,-3i\}\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?
Montrer que si \(n\) est impair alors \(A\) n’est pas inversible.
Montrer que \(A\) ne peut pas être une matrice symétrique.
[concours/ex2428] ens lyon P 1995 Montrer que \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(A^3=-A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\).
[concours/ex2428]
[planches/ex3338] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^3=-A\) et \(B^3=-B\). On suppose que \(A\) et \(B\) ne sont pas nilpotentes. Montrer qu’elles sont semblables.
[planches/ex3338]
[concours/ex8411] centrale 2004 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(X^3=-X\).
[concours/ex8411]
[planches/ex4644] polytechnique MP 2019 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) nilpotente. Montrer que \(I_n+M\) a une racine carrée dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\).
[planches/ex4644]
[concours/ex6094] centrale PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[concours/ex6094]
On suppose \(A\) nilpotente avec \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\). Montrer que l’équation \(A=X^2\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
On suppose \(A\) diagonalisable avec \(n\) valeurs propres distinctes. résoudre \(A=X^2\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[examen/ex0410] centrale MP 2023 On se place dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[examen/ex0410]
Montrer que toute matrice est trigonalisable sur \(\mathbf{C}\).
Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\in\mathbf{C}\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(f\) tel que pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\), \(f(\alpha_i)^2=\alpha_i\). En déduire que \(f(D)^2=D\).
On considère la suite \((c_k)_k\) définie par \(c_0=1\) et, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(c_{k+1}=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^kc_ic_{k-i}\) et le polynôme \(\varphi=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}\).
Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\varphi^2\) par \(X^n\).
Trouver un polynôme \(g\) tel que, pour toute matrice nilpotente \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on ait \(g(N)^2=I_n+N\).
Soit \(A\) une matrice inversible. Montrer qu’il existe \(R\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(R^2=A\).
[oraux/ex7226] mines PC 2015 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \[X=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A+B.\]
[oraux/ex7226]
[planches/ex4899] mines MP 2019
[planches/ex4899]
Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\setminus\{0\}\) telle que \(f^3+f=0\). Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&0}\).
Si \(n\in\mathbf{N}^*\), que dire de \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) tel que \(f^3+f=0\) ?
[oraux/ex7317] polytechnique, espci PC 2016
[oraux/ex7317]
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que le spectre de \(A\) est égal à \(\{1\}\) si et seulement si \(A-I_n\) est nilpotente.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A-I_n\) est nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont le spectre est égal à \(\{1\}\) tel que \(B^2=A\).
Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente. Montrer qu’il existe \(N'\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente telle que \((I_n+N')^2=I_n+N\).
[oraux/ex7458] centrale MP 2013
[oraux/ex7458]
Expliciter un polynôme \(P_n\in\mathbf{R}_n[X]\) tel que \(\sqrt{1+x}=P_n(x)+o(x^n)\) au voisinage de 0. Montrer que \(X^{n+1}\) divise \(1+X-P_n^2\).
Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Montrer que la matrice \(A=I_n+N\) possède une racine carrée \(B\) dans \(\mathbf{C}[A]\), c’est-à-dire telle que \(B^2=A\).
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre. Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) ayant une seule valeur propre et vérifiant \(B^2=A\).
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(B^2=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A))=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B))\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre et telle que \(A\overline A=I_n\). On prend \(B\) donnée par la question précédente. Montrer que \(A=B\overline B^{-1}\).
[examen/ex0148] mines PC 2023
[examen/ex0148]
Déterminer une suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) telle qu’on ait \(\sqrt{1+x}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kx^k\) au voisinage de \(0\). Préciser le rayon de convergence et le domaine de validité de l’égalité ci-dessus.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente. Prouver que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kA^k=I_n+A\).
Pour \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), quelconque, l’équation \(X^2=B\) a-t-elle toujours des solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?
[oraux/ex6048] escp S 2014 Dans tout cet exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\). On note : \[{\cal P}_n(\mathbf{R})= \{ A\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}) / \forall p\in\mathbf{N}^*,\ \exists B\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}), \hbox{ tel que } A=B^p\}\]
[oraux/ex6048]
Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & 2 & 4\cr 0 & 0 & 4}\).
Montrer que \(A\) est diagonalisable.
Montrer que \(A \in {\cal P}_3(\mathbf{R})\).
Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0\cr 0 & -2}\). Montrer que \(A \not\in {\cal P}_2(\mathbf{R})\).
Soit \(N\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(N^n=0\). Montrer que \(N\not\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).
Dans cette question \(N\) est une matrice non nulle, telle qu’il existe \(k\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^k=0\) . On pose \(A= I_n+N\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Soit \(V\) un polynôme de \(\mathbf{R}[X]\). On suppose qu’au voisinage de \(0\), on a : \(V(x)= o(x^q)\), où \(q\in\mathbf{N}\).
Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) tel que \(V(X)= X^q Q(X)\).
Soit \(p\in \mathbf{N}^*\). Montrer que pour tout \(q\in \mathbf{N}^*\), il existe un polynôme \(U_q\in \mathbf{R}[X]\) tel qu’au voisinage de \(0\) on a : \(1+x = (U_q(x))^p+o(x^q)\).
(On pourra utiliser le développement limité de \((1+x)^\alpha\)).
En déduire que \(I_n+N\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).
[concours/ex8605] tpe PSI 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \({}^tAA=A{}^tA\). Montrer que \(A=0\).
[concours/ex8605]
[oraux/ex7356] mines PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 3\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_{i,i+1}=1\) si \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\) les autres coefficients étant nuls. Résoudre \(M^2=A\) avec \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex7356]
[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.
[concours/ex6714]
[concours/ex9980] mines PC 2010 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^2+{}^tM=I_3\) ?
[concours/ex9980]
[concours/ex2850] ens paris M 1994 Soit \(K\) un corps fini, de caractéristique différente de \(2\). Calculer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits\left\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\mid A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\right\}.\]
[concours/ex2850]
[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).
[planches/ex8938]
Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).
Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?
[planches/ex8870] imt MP 2022 Soit une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2+A^T=I_n\).
[planches/ex8870]
Trouver un polynôme annulateur de \(A\) de degré 4. En déduire une propriété sur \(A\). Que dire de son spectre ?
On suppose dans cette question que 0 n’est pas une valeur propre de \(A\). Montrer que \(A-I_n\) est inversible et que \(A\) est symétrique.
[planches/ex8317] mines PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_n\).
[planches/ex8317]
Montrer que, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0\).
En déduire que \(n\) est un multiple de 4.
[concours/ex9710] mines PC 2008 Déterminer l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(M^5=M^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).
[concours/ex9710]
[concours/ex9979] mines PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=n\) et \(A^5=A^3\).
[concours/ex9979]
[concours/ex9746] tpe MP 2008 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\).
[concours/ex9746]
[concours/ex8528] tpe MP 2005 Quelles sont les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant \(A^3=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\) ?
[concours/ex8528]
[planches/ex8312] mines PC 2022 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), \(X^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&1&0\cr1&0&4}\).
[planches/ex8312]
[ev.algebre/ex0288] On note \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&0&4\end{array}\right)\,.\]
[ev.algebre/ex0288]
Déterminer les droites vectorielles de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(u\). En déduire une base relativement à laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.
Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(M^2=A\).
[concours/ex8982] centrale PC 2010 Déterminer toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=A=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\1&4&0\\1&1&0\end{array}\right)\).
[concours/ex8982]
[planches/ex3907] centrale PSI 2018
[planches/ex3907]
Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.
[planches/ex7296] ccinp MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(E)\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes. Déterminer le nombre de \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2=u\).
[planches/ex7296]
[concours/ex8737] int PSI 2008 Trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).
[concours/ex8737]
[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.
[planches/ex8517]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).
Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).
Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).
[concours/ex9535] mines PC 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \(\geqslant 1\).
[concours/ex9535]
Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).
Dans le cas où les valeurs propres de \(A\) sont simples, trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\).
[concours/ex1344] ens paris MP 1998 On pose \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{C})\) et \(D:\left\{\begin{array}{rcl} E&\rightarrow&E\\f&\mapsto&f'\end{array}\right.\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?
[concours/ex1344]
[oraux/ex7556] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(P\) un polynôme réel non constant. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=0\) ? Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(P(M)=0\) ?
[oraux/ex7556]
[planches/ex6447] polytechnique MP 2021
[planches/ex6447]
Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).
Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).
[oraux/ex7662] mines PSI 2015 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(a_{i,j}=1\) si \(i+j\) est pair, \(a_{i,j}=2\) sinon.
[oraux/ex7662]
Trouver les valeurs et vecteurs propres de \(A\).
Résoudre \(X^2+2X=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).
[planches/ex7846] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant. Soit \(n\) un entier \({}\geqslant 2\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((P,n)\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\).
[planches/ex7846]
[planches/ex2963] ens saclay, ens rennes MP 2018 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que, simultanément :
[planches/ex2963]
il existe \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A^p=I_n\) ;
il existe \(m\in\mathbf{N}\), \(m>2\) et \(A\equiv I_n\ [m]\).
[concours/ex9781] polytechnique MP 2009 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) un entier non nul tels que \(A^p=I_n\). On suppose qu’il existe un entier \(m\geqslant 3\) tel que \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer : \(A=I_n\).
[concours/ex9781]
[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]
[oraux/ex6308]
Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.
Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).
Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).
Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).
En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).
En déduire que \(A = I_n\).
[concours/ex9847] mines PC 2009
[concours/ex9847]
Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).
Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).
[concours/ex9401] centrale 2003
[concours/ex9401]
Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).
Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?
[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).
[oraux/ex7818]
Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).
Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).
Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).
[concours/ex9814] mines MP 2009
[concours/ex9814]
Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).
Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?
[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).
[concours/ex9497]
[oraux/ex7460] centrale MP 2013
[oraux/ex7460]
Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).
Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).
Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).
Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).
Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).
On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.
[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.
[concours/ex1418]
[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).
[concours/ex5779]
[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]
[concours/ex2475]
[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).
[planches/ex4625]
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).
On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).
Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.
Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).
[planches/ex4887] mines MP 2019
[planches/ex4887]
Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).
Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.
[examen/ex0132] mines PC 2023
[examen/ex0132]
Soit \(u\) un endomorphisme. Prouver que pour tout \(k\in\mathbf{N}\) on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\) et que, si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+2})\).
Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R} [X]\) tel que \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(u\mathbin{\circ} u(P)=P'\) ?
[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).
[oraux/ex7212]
Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).
Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?
[concours/ex8359] centrale 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Discuter l’équation \(M^3=A\) à l’inconnue \(M\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[concours/ex8359]
[planches/ex4031] imt MP 2018 Soit \(A=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).
[planches/ex4031]
Diagonaliser \(A\).
Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2+X=A\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}XP\) soient diagonales. Résoudre l’équation.
[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).
[oraux/ex7242]
[oraux/ex7832] centrale PC 2016 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) pour que l’équation \(A^3=B\) d’inconnue \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ait au minimum une solution.
[oraux/ex7832]
[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).
[planches/ex4891]
[oraux/ex4814] escp courts 2012 Trouver les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), ne possédant pas \(-1\) comme valeur propre, telles que \(M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).
[oraux/ex4814]
Indication : on pourra chercher un polynôme annulateur de \(M\).
[planches/ex4587] ens PC 2019 Soit \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\). Caractériser les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=M^n\).
[planches/ex4587]
[oraux/ex3595] polytechnique MP 2011
[oraux/ex3595]
Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(A=PB\).
Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que, pour tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \(PA\) soit diagonalisable.
[concours/ex9554] centrale MP 2005
[concours/ex9554]
Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).
Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?
[oraux/ex4162] centrale MP 2011 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) sans racine réelle et \(f\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(P(f)=0\).
[oraux/ex4162]
Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre. En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E\) est paire.
Soient \(x\neq0\) et \(y=f(x)+ax\). Montrer que \(H=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est stable par \(f\).
Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, tous les blocs diagonaux valant \(\left(\begin{array}{cc}0&1\\ -b&-a\end{array}\right)\).
[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.
[oraux/ex8579]
Que peut-on dire de \(u\) ?
Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).
Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?
[concours/ex9128] hec courts S 2010
[concours/ex9128]
Soit \(n\) un entier \(\geqslant 2\) et \(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les termes diagonaux sont distincts.
Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice telle que \(C^2=D\). Montrer que \(C\) est diagonalisable.
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.
Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A\).
Montrer que \(B\) est diagonalisable.
Montrer que tout vecteur propre de \(B\) est vecteur propre de \(A\).
En déduire qu’une base de vecteurs propres de \(A\) est aussi une base de vecteurs propres de \(B\).
Application : trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).
[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?
[concours/ex9364]
[concours/ex9700] mines PSI 2008 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) avec \(m\) impair, \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^m=A\).
[concours/ex9700]
[concours/ex0694] ensae MP 1997 Déterminer les matrices \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^3-2X=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\10&4\end{array}\right)\).
[concours/ex0694]
[oraux/ex4761] escp S 2012 Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Soient \(A\) et \(R\) deux matrices carrées réelles d’ordre \(n\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) si \(R^2=A\).
[oraux/ex4761]
Soit \(\theta\) un réel quelconque et \(R(\theta)\) la matrice : \(R(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta & \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta &- \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta\end{array}\right)\).
Calculer le carré de cette matrice et en déduire que la matrice identité d’ordre \(2\) admet une infinité de racines carrées.
Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n’a pas de racine carrée.
Donner le développement limité à l’ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de \(t \mapsto \sqrt{1+t}\).
Soit \(N\) une matrice carrée d’ordre \(n\) telle que \(N^4=0\). Déduire de la question précédente une racine carrée de la matrice \(I+N\).
Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbf{R}^n\). On suppose que \(f\mathbin{\circ} g= g\mathbin{\circ} f\) et que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles distinctes.
Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).
Montrer que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).
Justifier que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.
Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\). Combien \(A\) admet-elle de racines carrées ?
[examen/ex0816] navale PC 2023 On considère les deux matrices \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\) et \(A=\pmatrix{-1&0\cr10&4}\).
[examen/ex0816]
Quelles sont les racines réelles de \(X^3-2X+1\) et \(X^3-2X-4\) ?
Trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui commutent avec \(D\).
Résoudre \(M^3-2M=D\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
Résoudre \(M^3-2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[planches/ex6957] mines PC 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(v\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme surjectif dont le noyau est une droite vectorielle.
[planches/ex6957]
Donner un exemple d’un tel endomorphisme si \(E=\mathbf{R}[X]\).
L’espace \(E\) peut-il être de dimension finie ?
Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=v\).
[planches/ex9567] polytechnique, espci PC 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer qu’il existe \(p\in\mathbf{N}\) tel que \(B^{2p}\neq0\) et \(B^{2p+1}=0\).
[planches/ex9567]
[oraux/ex6936] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), nilpotente d’indice \(n\). Montrer qu’elle est semblable à la matrice \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) telle que \(n_{i,i+1}=1\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\), les autres coefficients étant nuls. En déduire l’existence d’une matrice \(B\) telle que \(e^B=xI_n+A\).
[oraux/ex6936]
[concours/ex9841] mines PC 2009 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^3-4M^2+4M=0\).
[concours/ex9841]
[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.
[oraux/ex7594]
[concours/ex9919] polytechnique MP 2010 La matrice \(-I_2\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle un carré ? Une exponentielle ?
[concours/ex9919]
[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).
[concours/ex6357]
[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).
[planches/ex2004]
[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).
[concours/ex9917]
[oraux/ex4044] mines PC 2011 Condition sur \(n\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) ?
[oraux/ex4044]
[oraux/ex0019] centrale PC 2010 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]=\{P(M),\ P\in\mathbf{C}[X]\}\) et \(E=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).
[oraux/ex0019]
Vérifier que \(\mathbf{C}[M]\) est un \(\mathbf{C}\)-espace de dimension finie.
On suppose que la matrice \(M\) est diagonalisable et qu’elle possède \(p\) valeurs propres distinctes. Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ainsi que le cardinal de \(E\).
On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(E\).
[planches/ex4645] polytechnique MP 2019 Soit \(a\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&a\cr0&1}\).
[planches/ex4645]
[planches/ex3620] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telle que \(4A^3+2A^2+A=0\). Montrer que \((A^k)_{k\geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite. Qu’en déduire sur \(A\) ?
[planches/ex3620]
[concours/ex5919] centrale MP 2007 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\mathscr{I}(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).
[concours/ex5919]
On suppose \(M\) diagonalisable et on note \(p\) le nombre de valeurs propres distinctes de \(M\). Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) et le cardinal de \(\mathscr{I}(M)\).
On suppose \(M\) nilpotente. Décrire \(\mathscr{I}(M)\).
Que dire dans le cas général du cardinal de \(\mathscr{I}(M)\) ?
[concours/ex5320] ens PC 2007
[concours/ex5320]
Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?
Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?
[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[examen/ex0817]
Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).
Caractériser les matrices \(M\).
[planches/ex2003] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). On définit : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n\over(2n+1)\,!}A^{2n+1}\). Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\pmatrix{1&1996\cr0&1}\) ? Que dire dans le cas de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?
[planches/ex2003]
[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).
[oraux/ex7205]
[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).
[concours/ex6555]
[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]
[examen/ex1056]
[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).
[concours/ex8985]
Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).
Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?
Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).
[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[oraux/ex7441]
[oraux/ex3585] polytechnique MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) : \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).
[oraux/ex3585]
[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?
[oraux/ex7396]
[concours/ex5576] mines MP 2007 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) l’équation : \(M^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&6\end{array}\right)\).
[concours/ex5576]
[oraux/ex7170] polytechnique MP 2015 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=-I_n\).
[oraux/ex7170]
[concours/ex3941] polytechnique pox M 1990 Trouver, pour \(n\in\mathbf{N}\) donné, les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \[X^n=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right].\]
[concours/ex3941]
[oraux/ex7397] polytechnique MP 2013 Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&1\cr0&1}\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).
[oraux/ex7397]
[concours/ex9538] centrale MP 2005 Soient \(u\) et \(v\) dans \(\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) diagonalisables et tels que \(u^3=v^3\). Montrer que \(u=v\).
[concours/ex9538]
[concours/ex9506] polytechnique PC 2005 Soit \(P\) un polynôme réel tel que la fonction \(x\mapsto P(x)\) de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) est injective. Soient \(A\) et \(B\) des matrices carrées réelles diagonalisables telles que \(P(A)=P(B)\). Montrer que \(A=B\).
[concours/ex9506]
[oraux/ex7591] mines PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).
[oraux/ex7591]
[oraux/ex7774] mines PSI 2016 On considère le polynôme \[P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4.\]
[oraux/ex7774]
Trouver les racines de \(P\) parmi \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et factoriser \(P\) sous forme de produit d’irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).
Chercher les entiers \(n>0\) tels qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(P(M)=0\).
[oraux/ex7566] mines MP 2014 Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{Q})\setminus\{I_3\}\) telle que \(A^5=I_3\) ?
[oraux/ex7566]
[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[oraux/ex7124]
Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).
Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).
[concours/ex9929] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant, il existe \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).
[concours/ex9929]
[concours/ex8343] centrale 2003 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \((E_n)\) l’équation \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\).
[concours/ex8343]
Résoudre \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).
[planches/ex9184] ens paris MP 2023 Le groupe \(\mbox{GL}_2(\mathbf{Q})\) contient-il un élément d’ordre \(5\) ?
[planches/ex9184]
[planches/ex4900] mines MP 2019 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^5-2A^4-2A^3+A^2+4A+4I_n=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)=\pm1\).
[planches/ex4900]
[concours/ex2847] ens paris M 1994 Montrer que le groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q})\) ne contient pas d’élément d’ordre \(5\).
[concours/ex2847]
[concours/ex7377] centrale MP 2010
[concours/ex7377]
Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).
Maple
Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).
[concours/ex5197] escp S 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} -5 & 3\\ 6 & -2\end{array}\right)\).
[concours/ex5197]
Soit \(n\in \mathbf{N}^*\). L’équation \(X^n=A\), d’inconnue \(X\in {\cal M}_2(\mathbf{R})\), admet-elle au moins une solution ?
[planches/ex9058] escp S 2023 Soit \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels.
[planches/ex9058]
Si \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\), on désigne respectivement par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(M)=\left\{X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\mid MX=0\right\}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(M)=\left\{MX\mid X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\right\}\) le noyau et l’image de \(M\).
On dit qu’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) est involutive si \(M^2=I\) où \(I\) est la matrice identité d’ordre \(n\).
On considère une matrice involutive \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) sont supplémentaires. En déduire que \(A\) est diagonalisable.
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\in[[-n,n]]\). Étudier la parité de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\) en fonction de celle de \(n\).
Que peut-on dire de plus sur les sous espaces \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I-A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(I+A)\) lorsque \(A\) est aussi symétrique ?
(\(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est muni du produit scalaire canonique).
Dans cette question, on considère deux matrices involutives \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).
Développer et simplifier les produits \((A+B)(A-B)\) et \((A-B)(A+B)\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).
Prouver que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(AB-BA)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A+B)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A-B)\).
On se place dans le cas où \(n=2\) et on considère les matrices \[M=\pmatrix{0&1\cr1&0},\quad N_1=\pmatrix{1&0\cr0&0}\quad\hbox{et}\quad N_2=\pmatrix{-1&-1\cr1&1}.\]
Existe-t-il \(Z\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\) qui soit solution de l’équation \(MZ-ZM=N_1\) ?
On cherche maintenant à savoir s’il existe une matrice involutive \(A\) qui vérifie \(MA-AM=N_2\). Montrer que l’on a nécessairement \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\). En utilisant la question 2c déterminer l’ensemble des possibilités pour une telle matrice involutive \(A\).
Si \(A\) et \(Z\) sont deux solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\) d’inconnue \(U\in\mathscr{M}_2(\mathbb{R})\), que peut on dire de la matrice \(Z-A\) ? En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \(MU-UM=N_2\).
[concours/ex6100] centrale PC 2007 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=A\).
[concours/ex6100]
[planches/ex4640] polytechnique MP 2019 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de polynôme minimal \(X^3+2X+2\). Même question dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\).
[planches/ex4640]
[concours/ex8677] mines MP 2008 Condition sur \(n\in\mathbf{N}^*\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \[A^2+2A+5I_n=0\ ?\]
[concours/ex8677]
[planches/ex6871] mines PSI 2021 Diagonaliser \(A=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\) puis résoudre l’équation \(M^3+2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[planches/ex6871]
[concours/ex9616] centrale PC 2006 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension 2 et \(u\in\mathscr{L}(E)\) diagonalisable. Résoudre l’équation \(v^2=u\) d’inconnue \(v\in\mathscr{L}(E)\). L’ensemble des solutions est-il fini ?
[concours/ex9616]
[planches/ex3632] mines PSI 2018 Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisables telles que \(A^2=B^2\) et \(A^3=B^3\).
[planches/ex3632]
Montrer que \(A=B\).
Le résultat demeure-t-il si l’on ne suppose plus \(A\) et \(B\) diagonalisables ?
[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).
[oraux/ex3832]
[oraux/ex6914] polytechnique, espci PC 2013 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(M^3+2M=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\).
[oraux/ex6914]
[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).
[planches/ex4788]
[planches/ex2196] mines PSI 2017 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(\{B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\) soit fini et non vide. Que dire du cardinal de cet ensemble ?
[planches/ex2196]
[concours/ex8778] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\).
[concours/ex8778]
[concours/ex9792] polytechnique PC 2009
[concours/ex9792]
Trouver une équation algébrique vérifiée par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4\pi/5)\).
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\). On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) est dans \(\mathbf{Q}\). Montrer que \(n\) est divisible par 4.
Réciproquement, si \(n\) est divisible par 4, montrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\in\mathbf{Q}\) et \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\).
[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).
[concours/ex9765]
[oraux/ex0028] ccp MP 2010 Soit \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=M\) ? Même question en remplaçant \(\mathbf{C}\) par \(\mathbf{R}\).
[oraux/ex0028]
[concours/ex8895] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que telles que : \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\).
[concours/ex8895]
[planches/ex3618] mines PSI 2018 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant et \(n\in\mathbf{N}^*\).
[planches/ex3618]
Montrer qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=0_n\).
Soit \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(Q=X^2+aX+b\) n’admette pas de racine réelle. Montrer qu’il existe une matrice \(N\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P(N)=0_2\).
Existe-t-il toujours une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(M)=0_n\) ?
[concours/ex4663] escp courts 2004 Résoudre l’équation \(X^3=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).
[concours/ex4663]
[planches/ex2310] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{-5&6\cr3&-2}\).
[planches/ex2310]
Montrer que \(A\) est diagonalisable ; préciser ses valeurs propres.
Déterminer les \(B\) telles que \(B^2=A\).
[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).
[concours/ex9728]
[oraux/ex7617] ccp PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{1&2&0\cr0&3&0\cr1&4&-1}\).
[oraux/ex7617]
Déterminer le spectre de \(A\) et trouver une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).
Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est nécessairement diagonale.
Soit \(P=X^7+X+1\). Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P(M)=A\).
[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).
[planches/ex5675]
Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.
Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).
[planches/ex2659]
Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.
Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).
[concours/ex0164] mines MP 1996 Résoudre l’équation \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&3&-7\\2&6&-14\\1&3&-7\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[concours/ex0164]
[planches/ex5587] ccinp PSI 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&2&1\cr1&1&2}\). Soit \(g\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(g\mathbin{\circ} g=f\).
[planches/ex5587]
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
On note \(e_1\) et \(e_3\) des vecteurs propres de \(f\) associés aux valeurs propres 1 et 3. Montrer que \(g(e_1)\) et \(g(e_3)\) sont aussi des vecteurs propres de \(f\) associés à 1 et 3 respectivement.
En déduire que \(e_1\) et \(e_3\) sont des vecteurs propres de \(g\).
L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?
Déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour le spectre de \(g\).
[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).
[concours/ex6066]
Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).
On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?
On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.
Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).
[planches/ex6553] polytechnique, espci PC 2021 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) définie par \(a_{i,j}=0\) si \(i>j\), \(a_{i,j}=i+j^2\) si \(i\leqslant j\). Combien y a-t-il de solutions de l’équation \(M^2=A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?
[planches/ex6553]
[concours/ex9751] ensea PSI 2008 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(2M+M^2+3M^3=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[concours/ex9751]
[examen/ex1066] ens lyon MP 2024 Combien y-a-t-il de classes de similitude de \(\mathscr{M}_{3n}(\mathbf{R})\) constituées de matrices \(M\) telles que \(M^3=0\) ?
[examen/ex1066]
[planches/ex9354] ens PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=3\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)=5\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^3)=9\). Déterminer la borne inférieure de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^2)\) lorsque \(M\) décrit \[\left\{ M\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\ ;\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM)=1\hbox{ et } \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2M)=1\right\}.\]
[planches/ex9354]
[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).
[oraux/ex0034]
Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).
[planches/ex7741] polytechnique MP 2022 Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, et \(n\geqslant 2\) un entier. On suppose que toutes les valeurs propres de \(f\) sont simples. Déterminer les \(u\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(u\mathbin{\circ} f-f\mathbin{\circ} u=u^n\).
[planches/ex7741]
[examen/ex0907] hec courts S 2021
[examen/ex0907]
Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).
[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.
[planches/ex7975]
[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).
[planches/ex4585]
[concours/ex9906] ens lyon PC 2010 Trouver tous les couples \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})^2\) tels que \(B^2=ABA^{-1}\).
[concours/ex9906]
[oraux/ex4715] hec courts S 2012 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).
[oraux/ex4715]
Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^2-2M=D\).
[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?
[oraux/ex7584]
[planches/ex1986] mines MP 2017
[planches/ex1986]
Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M(M-I_n)=0\).
Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\) et \(M^n=I_n\).
[examen/ex0062] mines PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). Déterminer les applications \(u\in\mathscr{L}(E)\) vérifiant \(\alpha u^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u^2)u\).
[examen/ex0062]
[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?
[oraux/ex7574]
[planches/ex7319] ccinp PSI 2021 Soit \(A=\pmatrix{3&2&-3\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).
[planches/ex7319]
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.
Trouver une matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).
Les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A\) sont-elles diagonalisables ?
[concours/ex9920] polytechnique MP 2010 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits A=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).
[concours/ex9920]
[concours/ex9937] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) semblables à leur inverse.
[concours/ex9937]
[concours/ex9956] mines MP 2010 Soit \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(M^{p+2}=M\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).
[concours/ex9956]
[examen/ex0808] ccinp PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{5&1\cr3&3}\). On cherche à résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[examen/ex0808]
Résoudre dans \(\mathbf{R}\) les équations \(x^2+x-2=0\) et \(x^2-x-6=0\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\) et les sous-espaces propres associés. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^2+M=A\).
Soit \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(X\) est un vecteur propre de \(A\) et que \(\lambda\in\{-3,-2,1,3\}\).
Montrer que \(A\) et \(M\) commutent. En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).
Montrer que \(M\) n’a que des valeurs propres simples (on pourra raisonner par l’absurde) et en déduire que \(M\) est diagonalisable.
Résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
[planches/ex3912] centrale PSI 2018
[planches/ex3912]
Déterminer une matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont exactement les racines troisièmes de l’unité.
Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=I_3\) et \(B\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).
On suppose dans cette question que 1 n’est pas valeur propre de \(A\).
Montrer que l’entier \(n\) est pair.
Exprimer \(A^2\) à l’aide de \(A\) et \(I_n\).
Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).
On suppose que 1 est valeur propre de \(A\). Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).
[concours/ex8552] ccp PC 2005 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-2M^2+M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).
[concours/ex8552]
[concours/ex6557] mines MP 2006 Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \({}^tM=M^2\) et que \(M\) n’ait aucune valeur propre réelle.
[concours/ex6557]
[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).
[planches/ex6689]
[planches/ex4888] mines MP 2019 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), déterminer les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(M\) et \(M^2\) soient semblables.
[planches/ex4888]
[concours/ex4370] hec E 2001 On considère les matrices suivantes : \(A=\left(\begin{array}{cc}-3&4\\4&-3\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\), \(I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\).
[concours/ex4370]
Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?
Déterminer les valeurs propres de \(A\) et \(B\).
On veut déterminert les matrices \(M\), carrées d’ordre 2 à coefficients réels, vérifiant les conditions : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{rcl}M^3-3M^2+3M&=&A\\M^2+2M&=&B\end{array}\right.\] On dira qu’une telle matrice est solution du système \((S)\). On suppose que le système \((S)\) a des solutions et l’on note \(M\) l’une d’entre elles.
Etablir les égalités : \((M-1)^3=A-I\) et \((M+I)^2=B+I\).
En déduire que les matrices \((M-I)\) et \((M+I)\) ne sont pas inversibles.
En déduire que la matrice \(M\) est diagonalisable et vérifie l’égalité \(M^2=I\).
Déterminer toutes les solutions du système \((S)\).
On veut déterminer les matrices \(M\) carrées d’ordre 2 à coefficients réels vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\). Notons \(M\) une telle matrice (s’il en existe).
Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) et une matrice \(P\) inversible tels que l’on a : \(M=P\left(\begin{array}{cc}1&a\\0&b\end{array}\right)P^{-1}\).
En déduire que la matrice \(M^2-4M+7I\) est inversible.
Etablir les égalités : \((M+I)(M^2-4M+7I)=A+7I\).
Déterminer toutes les matrices \(M\) vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\).
[concours/ex0919] centrale MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&5&4\\0&0&5\end{array}\right)\). Déterminer les plans stables de \(A\). Résoudre \(X^2=A\).
[concours/ex0919]
[concours/ex4433] escp S 2006
[concours/ex4433]
On définit les fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) sur \(\mathbf{R}\), par : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t+e^{-t}\over2}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t-e^{-t}\over2}\).
On pose pour \(t \in \mathbf{R}\), \(M_t=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\end{array}\right)\).
Étudier les variations des fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) et tracer leur graphe dans un repère orthonormé du plan. Calculer, pour \(t\in \mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^2t - \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2 t\).
En déduire que si \(a\), \(b\) sont deux réels vérifiant \(a^2-b^2=1\), il existe \(t \in \mathbf{R}\) et \(\varepsilon\in\{-1,1\}\) tels que \(a=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\) et \(b=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\).
Montrer que la matrice \(M_t\) est diagonalisable et que l’on peut choisir une base de vecteurs propres de \(M_t\) indépendants de \(t\).
Montrer que l’application \(\theta : \mathbf{R} \rightarrow {\cal M}_2(\mathbf{R})\) définie par \(\theta(t)= M_t\) est injective et vérifie pour tout \((t,t')\in \mathbf{R}^2\), \(\theta (t+t')=\theta (t) \theta (t')\).
On pose \(E=\mathbf{R}^2\), \(J=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\) et \(q(x,y)=x^2-y^2\). On cherche les éléments \(f \in {\cal L}(E)\) tels que \(q \mathbin{\circ} f=q\).
Montrer que \(f\) est solution de cette équation si et seulement si sa matrice \(M\) vérifie la relation \((\star)\) : \({}^tMJM=J\).
Déterminer l’ensemble des matrices qui vérifient la relation \((\star)\) et montrer qu’il contient les matrices \(M_t\) pour tout \(t \in \mathbf{R}\).
[concours/ex9773] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\). On suppose que si \(a\) est une valeur propre de \(A\) et \(b\) une valeur propre de \(B\) alors \(b-a\not\in2i\pi\mathbf{Z}\setminus\{0\}\). Montrer que \(A=B\).
[concours/ex9773]
[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[planches/ex4445]
[planches/ex1372] escp courts 2017 L’équation \(A^2=A-I_2\), d’inconnue \(A\in {\cal M}_2(\mathbf{C})\) admet-elle des solutions non diagonalisables ?
[planches/ex1372]
[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).
[concours/ex8772]
[examen/ex0740] ccinp PSI 2023 Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on cherche les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A\) \((*)\).
[examen/ex0740]
Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\), \((*)\) n’a pas de solution.
En déduire une condition nécessaire pour que \((*)\) possède une solution.
Calculer le déterminant de \(A=\pmatrix{2+a&2&1+a\cr3-a&3&3-a\cr-2&-2&-1}\). En déduire une condition nécessaire portant sur \(a\) pour que \((*)\) possède une solution. On suppose par la suite que \(a\geqslant 0\).
Calculer \(\chi_A\) et déterminer les éléments propres de \(A\). On distinguera les cas \(a=1\) et \(a=3\).
Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\). On suppose par la suite que \(a\not\in\{1;3\}\).
On suppose qu’il existe \(M\) telle que \(M^2=D\). Montrer que \(MD=DM\).
En déduire toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=D\).
Montrer que \(M^2=D\ \Leftrightarrow\ (PMP^{-1})^2=A\).
En déduire toutes les matrices \(B\) telles que \(B^2=A\).
[oraux/ex3716] polytechnique, espci PC 2011 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A){}^tA=(2/n)I_n\).
[oraux/ex3716]
[oraux/ex7478] centrale PC 2013 Soient \(P_1=X^3-12X-12\) et \(P_2=X^3+12X-12\).
[oraux/ex7478]
Trouver \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P_1(M)=0\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?
Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P_2(M)=0\) avec \(M\not\in\mathbf{R} I_n\).
On cherche les racines de \(P_2\). On pose \(z=u+v\) avec \((u,v)\in\mathbf{C}^2\) tel que \(u^3+v^3=12\), \(uv=-4\). Déterminer les racines de \(P_2\) en fonction de \(\sqrt[3]2\) et \(j\).
[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?
[planches/ex2803]
[concours/ex3831] ensi M 1992 Déterminer toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(K)\) telles que \(M^2=0\).
[concours/ex3831]
[concours/ex8989] tpe MP 2010 Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})\) telles que \(A^3=I_n\).
[concours/ex8989]
[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).
[concours/ex8647]
[oraux/ex7379] ens paris MP 2013 Déterminer les matrices \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\exists M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) : \(M^k=A\).
[oraux/ex7379]
[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]
[planches/ex1988]
La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?
On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?
[planches/ex8730] centrale PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que, pour un entier \(p\geqslant 3\), \(A^p=I_2\) et \(\forall k\in[[1,p-1]]\), \(A^k\neq I_2\).
[planches/ex8730]
Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), mais pas dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
Montrer qu’il existe \(k\in[[1,p-1]]\) tel que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{0&-1\cr1&2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\left(\displaystyle{2k\pi\over p}\right)}\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(k,p)=1\).
[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.
[planches/ex6070]
Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).
Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).
[planches/ex6374] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes PC 2021
[planches/ex6374]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
\(\exists B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), \(A=B^2\) ;
\(A=0\) ou \(A^2\neq0\).
Déterminer si les matrices suivantes sont des carrés dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \[\pmatrix{-1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{0&1\cr-1&0}.\]
Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(B\) et \(C\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2+C^2\).
[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).
[oraux/ex4172]
[concours/ex9918] polytechnique MP 2010 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(J_n\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
[concours/ex9918]
Résoudre \(X^2+X=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).
Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Résoudre \(P(X)=J_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).
[oraux/ex7183] polytechnique, espci PC 2015 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tel que \((AB-BA)^2=I_n\).
[oraux/ex7183]
[planches/ex5683] ccinp PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{1&-2\cr-3&-1}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Est-ce que \(A\) admet une racine carrée réelle ?
[planches/ex5683]
[oraux/ex7047] polytechnique MP 2014 Résoudre l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=I_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[oraux/ex7047]
[examen/ex1065] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Soient \(A\), \(B\), \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On considère l’équation \((E)\): \(X-AXB=C\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(B)\) les spectres complexes de \(A\) et \(B\).
[examen/ex1065]
On suppose que, pour tout \((\alpha,\beta)\in \mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(A)\times\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(B)\), \(\alpha\beta\neq1\). Montrer que l’équation \((E)\) admet une unique solution.
Que se passe-t-il dans le cas général ?
[oraux/ex5710] centrale PC 2012 Déterminer les \(u\in{\cal L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(u^3=u\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=3\).
[oraux/ex5710]
[concours/ex0165] mines MP 1996 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}4&5&5\\5&4&5\\ -5&-5&-6\end{array}\right)\). Résoudre \(M^2=A\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[concours/ex0165]
[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).
[concours/ex9922]
[examen/ex0057] mines PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&1\cr2&-2&-1}\).
[examen/ex0057]
Donner le spectre de \(A\) et ses espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(A=PTP^{-1}\) avec \(T=\pmatrix{0&0&-3\cr0&1&4\cr0&0&1}\).
Trouver l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(MT=TM\).
Soit \(N\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(N^2=T\). Montrer que \(NT=TN\).
Trouver l’ensemble des matrices \(N\) telles que \(N^2=T\).
En déduire l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A=M^2\).
[oraux/ex7597] centrale MP 2014
[oraux/ex7597]
Soit \(P=X-X^2\in\mathbf{R}[X]\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(Q(X))-X\) soit divisible par \(X^4\).
Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(0)=0\) et \(P'(0)\neq0\).
Établir l’existence d’intervalles ouverts \(I\) et \(J\) contenant 0 tels que \(P\) induise un \(\mathscr{C}^\infty\)-difféomorphisme de \(I\) sur \(J\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(X^n\) divise \(P(Q(X))-X\). On admet dans la suite que ce résultat est encore vrai sur \(\mathbf{C}\).
Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) et \(P\in\mathbf{C}[X]\) admettant une racine simple. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).
Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \({}\geqslant 2\) ne possédant pas de racines simples sur \(\mathbf{C}\). Soit \(d\in\mathbf{N}\) avec \(d\geqslant 2\).
Trouver \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(A^{d-1}\neq0\) et \(A^d=0\).
Montrer que l’équation \(P(M)=A\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\).
[concours/ex9519] mines MP 2005 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_6(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-5A^2+8A-4I=0\) ; \(A^2-3A+2I\neq0\) ; \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).
[concours/ex9519]
[planches/ex4784] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=-A\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).
[planches/ex4784]
[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
[concours/ex9597]
Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.
Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).
Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.
Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.
Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.
Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).
[planches/ex5916] polytechnique PSI 2020 Soit \(A=\pmatrix{a_1&*\cdots&*\cr0&a_2&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&*\cr0&\cdots&0&a_n}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) avec \(a_i\neq a_j\) si \(i\neq j\). Soit \(r\geqslant 2\). On considère l’équation matricielle \((E)\) : \(T^r=A\) d’inconnue \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).
[planches/ex5916]
Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont triangulaires supérieures. Combien y a-t-il de solutions ?
Donner une exemple d’équation \(X^r=N\) sans solution pour \(r\geqslant 2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).
[concours/ex1792] mines MP 1999 Résoudre \(X^n=\left(\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\) lorsque \(X\) est une matrice carrée complexe. Quelles sont les solutions réelles ?
[concours/ex1792]
[planches/ex6218] escp S 2021 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est \(A=\pmatrix{ 1 & 1 &-1\cr -1 & 3 & -3\cr -2 & 2 & -2}\).
[planches/ex6218]
Calculer le rang de \(f\). Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\)
Calculer \(A^2\) et son rang.
Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\).
Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\).
En déduire que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{ 0 & 1 &0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 2}\).
Dans cette question, on cherche à déterminer les endomorphismes \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(g^2=f\).
Montrer que si \(g\) est une solution, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\) sont stables par \(g\).
En déduire les solutions de l’équation \(g^2=f\).
[planches/ex4785] polytechnique, espci PC 2019 On pose, pour \(q\in\mathbf{R}^*\), \(A_q=\pmatrix{q&q(q+1)\cr q(q-1)&q}\) et \(A'_q=\displaystyle{A_q\over q^2}\).
[planches/ex4785]
Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A_p\) et \(A_q\) soient semblables.
Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A'_p\) et \(A'_q\) soient semblables.
Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A_q^2\).
Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables à \(A_q\) et telles que \(B^2=A_q^2\).
[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).
[concours/ex8481]
[planches/ex8928] ccinp PSI 2022 On considère la matrice \(A=\pmatrix{3&-3&2\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).
[planches/ex8928]
Déterminer une matrice \(R\) telle que \(R^2=A\).
Montrer que toutes les matrices \(R\) telles que \(R^2=A\) sont diagonalisables.
[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).
[concours/ex0407]
[planches/ex1863] polytechnique, espci PC 2017 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^3\neq M^4\) et \(M^4=M^5\) ? et dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?
[planches/ex1863]
[concours/ex9447] mines 2004 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3+A-2I_n=0\).
[concours/ex9447]
[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).
[oraux/ex6167]
On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).
On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?
Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).
Dans cette question, on suppose \(n=2\).
Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.
Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.
En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).
Résoudre l’équation \((E)\).
Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).
[planches/ex5383] centrale PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \((E_1)\) : \(A^4+I_2=0\) et \((E_2)\) : \(A^TA=AA^T\). On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes respectivement représentés par \(A\) et \(A^T\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^2\).
[planches/ex5383]
Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Quelles sont les valeurs propres possibles ?
Montrer que tout vecteur propre de \(u\) est vecteur propre de \(v\).
Quelles sont les matrices satisfaisant \((E_1)\) et \((E_2)\) ?
[planches/ex9561] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(n\geqslant 2\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\ A=B^2\}\).
[planches/ex9561]
[oraux/ex4604] escp S 2011 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)\) et \(J=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)\).
[oraux/ex4604]
On note respectivement \(a\) et \(j\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associés aux matrices \(A\) et \(J\).
Calculer \(J^n\) pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\).
En déduire que \(A^n= I +\displaystyle{4^n-1\over3} J\), où \(I\) désigne la matrice identité d’ordre \(3\).
Montrer que \(a\) admet deux valeurs propres réelles \(\lambda\) et \(\mu\) avec \(\lambda <\mu\).
Montrer qu’il existe un unique couple \((p,q)\) d’endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\), tel que pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}\) : \(a^n =\lambda^np+\mu^nq\).
Montrer que \(p\) et \(q\) sont deux projecteurs vérifiant \(p\mathbin{\circ} q=q\mathbin{\circ} p=0\).
Déterminer les endomorphismes \(h\) de \(\mathbf{R}^3\), combinaisons linéaires de \(p\) et \(q\) tels que \(h^2=h\mathbin{\circ} h=a\).
Montrer qu’il existe un endomorphisme \(h\) de \(\mathbf{R}^3\) qui n’est pas combinaison linéaire de \(p\) et \(q\) et qui est tel que \(h^2=a\).
[concours/ex2152] polytechnique M 1995 Soit \[E=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\right\}.\] Déterminer toutes les matrices de \(E\) telles que \(M^2=I_3\). Interprétation géométrique de ces matrices.
[concours/ex2152]
[oraux/ex5153] polytechnique, espci PC 2012 Existe-t-il \(A\in{\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(A^{2012}=\left( \begin{array}{cc} -1&0\\0&-2\end{array}\right)\) ?
[oraux/ex5153]
[planches/ex9562] polytechnique, espci PC 2023 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^p=A\), où \(p\) est un entier \({}\geqslant 2\).
[planches/ex9562]
[planches/ex4441] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que \(AB=BA\) et \(A^n=B^n=I_n\). Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)=n\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).
[planches/ex4441]
[concours/ex1803] mines MP 1999 Soit \(A\) la matrice réelle : \[\left(\begin{array}{ccc} 2&2&4\\2&-4&-2\\1&1&2\end{array}\right).\] Déterminer l’ensemble des matrices réelles qui commutent avec \(A\), puis résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), pour \(n\in\mathbf{N}^*\), l’équation \(X^n=A\).
[concours/ex1803]
[concours/ex6638] hec E 2008 Pour tout nombre réel \(a\), on note \(A(a)\) la matrice : \(A(a)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&a\\1&1+a&1\\a&1&2\end{array}\right]\).
[concours/ex6638]
Question de cours : Rappeler la définition d’une matrice diagonalisable.
Montrer que si une matrice est diagonalisable, sa transposée est également diagonalisable.
Justifier le fait que pour tout \(a\) réel, la matrice \(A(a)\) est diagonalisable.
Montrer que \(a\) est valeur propre de \(A(a)\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
Calculer \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) et \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\0\\ -1\end{array}\right]\).
Diagonaliser \(A(a)\).
Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((z_n)_{n\in\mathbf{N}}\) trois suites réelles vérifiant, pour tout \(n\) entier naturel, \(\left\{\begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&2x_n+y_n\\y_{n+1}&=&xn_+y_n+z_n\\z_{n+1}&=&y_n+2z_n \end{array}\right.\)
Si l’on pose pour tout \(n\) entier naturel, \(X_n=\left[\begin{array}{c}x_n\\y_n\\z_n\end{array}\right]\), quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\) et \(X_n\) ?
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\) pour que les suites \((x_n)\), \((y_n)\) et \((z_n)\) soient bornées. Que peut-on dire alors de ces trois suites ?
Montrer que si \(B\) et \(B'\) sont deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C^2=B\), alors il existe \(C'\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C'^2=B'\).
Montrer que si \(B\) et \(C\) sont deux matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(C^2=B\), alors \(BC=CB\).
Si \(a\in\mathbf{R}\), déterminer les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) commutant avec la matrice \(\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&6&0\\0&0&-1\end{array}\right]\).
Existe-t-il une matrice \(M\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A(3)\) ?
[planches/ex4641] polytechnique MP 2019 Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). À quelle condition \(M\) admet-elle une racine carrée dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?
[planches/ex4641]
[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).
[concours/ex5511]
[concours/ex9882] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=2A+8I_n\).
[concours/ex9882]
La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?
Trouver les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(I_n,A)\) telles que \(M^2=2M+8I_n\).
[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.
[examen/ex1069]
[planches/ex6072] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021
[planches/ex6072]
Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\Phi_A:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\mapsto AM+MA\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\Phi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.
Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Donner une partie \(W\) dense dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que, pour tout \(U\in W\), il existe un unique \(V\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(UV+VU=P\).
[concours/ex1216] mines MP 1998 Trouver une matrice \(M\), si elle existe, vérifiant \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&1&0\\2&1&2\end{array}\right)\) (resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&2&0\\2&1&2\end{array}\right)\), resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\2&1&2\end{array}\right)\)).
[concours/ex1216]
[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).
[concours/ex8598]
[concours/ex1800] mines MP 1999 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0\\ -1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(n\geqslant 2\), résoudre \(X^n=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{C})\), puis dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).
[concours/ex1800]
[planches/ex8723] centrale PC 2022 Soit \(\theta\in\left]0,\pi\right[\).
[planches/ex8723]
Montrer que toute solution de \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est semblable à \(R=\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).
Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_n=0\). Montrer que \(n\) est pair et que \(A\) est semblable à une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à \(R\).
[oraux/ex7515] petites mines PSI 2013 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=3\) et \(M^5=M^2\).
[oraux/ex7515]
[concours/ex9883] ensea PSI 2009 Trouver les \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[M^3-M^2+M-I_n=0.\]
[concours/ex9883]
[oraux/ex6043] escp S 2014 Dans tout l’exercice \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
[oraux/ex6043]
Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On dit qu’une matrice \(R \in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une racine carrée de \(A\) lorsque \(R^2 = A\).
Déterminer toutes les racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).
Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Soit \(R\) une telle matrice et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) ; enfin, soit \(r\) le rang de \(f\).
Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) et montrer que \(r \leqslant n/2\).
On suppose \(r \geqslant 1\) ; on note \(( e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_{n-r})\) une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) telle que \(( e_1,\ldots,e_r)\) soit une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\).
Justifier que, pour \(i \in [[1,r]]\), il existe un vecteur \(u_i\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que \(f(u_i) = e_i\). Montrer qu’alors la famille \(\mathscr{B}=(e_1,\ldots,e_{n-r},u_1,\ldots,u_r)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\) et expliciter la matrice \(M_r\) de \(f\) dans cette base.
En déduire une expression de toutes les matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Expliciter dans le cas \(n = 4\).
Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice identité \(I_n \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).
Déterminer les matrices diagonalisables \(R \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de \(I_n\).
Soit \(R\) une racine carrée de \(I_n\); on note encore \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \cap \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id) = \{ 0 \}\).
Déterminer deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbf{R}[X]\) tels que : \[P(X)(X+1)+Q(X)(X-1) = 1\] En déduire que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\).
Justifier que \(f\) est diagonalisable et en déduire toutes les solutions \(R\) cherchées.
[oraux/ex7652] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=M\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^3=n\).
[oraux/ex7652]
[concours/ex9887] ccp PSI 2009 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).
[concours/ex9887]
Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tel que \(M^5+M^3+M=A\).
[examen/ex0601] imt MP 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(4A^3+4A^2+A=0\).
[examen/ex0601]
Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite \((A^k)_{k\in\mathbf{N}}\).
Qu’en déduire sur la matrice \(A\) ?
[concours/ex4667] escp courts 2004 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\).
[concours/ex4667]
[planches/ex2702] ensam PSI 2017
[planches/ex2702]
La matrice \(A=\pmatrix{0&0&1\cr2&1&0\cr0&0&1}\) est-elle diagonalisable ?
Est-elle trigonalisable ? Si oui, la trigonaliser.
Montrer que si \(M^2=A\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\subset\{-1,0,1\}\).
Résoudre l’équation \(M^2=A\).
[concours/ex6800] escp B/L 2009 On considère la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{array}\right)\).
[concours/ex6800]
L’objet de l’exercice est de résoudre dans \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) l’équation \((E)\) d’inconnue \(M\) : \(M^2=A\).
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).
Démontrer que si \(M\) est une solution de \((E)\), alors les matrices \(A\) et \(M\) commutent et tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).
En déduire que toute solution de \((E)\) est diagonalisable et déterminer toutes les solutions de \((E)\).
[concours/ex9548] centrale MP 2005
[concours/ex9548]
Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).
Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).
Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).
[planches/ex3409] mines MP 2018 Résoudre l’équation \(X^2-2X=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), où \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).
[planches/ex3409]
[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?
[planches/ex9727]
[concours/ex0166] mines MP 1996 Soit \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\,.\] Résoudre l’équation à l’inconnue \(X\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \[5X^2+3X=A\,.\]
[concours/ex0166]
[concours/ex9671] polytechnique, espci PC 2008
[concours/ex9671]
Montrer qu’une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) non diagonalisable est de la forme \(aI_2+N\) où \(a\in\mathbf{C}\) et \(N\) est nilpotente non nulle.
Soit \(n\in\mathbf{N}\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tels que \(X^n=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right)\).
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