Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[concours/ex9401] centrale 2003

1. Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).

4. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).

   Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.

[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]

[concours/ex9847] mines PC 2009

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).

[oraux/ex7460] centrale MP 2013

1. Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).

   1. Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).

   2. Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).

   3. Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).

3. Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).

4. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.

5. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[concours/ex8359] centrale 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Discuter l’équation \(M^3=A\) à l’inconnue \(M\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).