Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[examen/ex0132] mines PC 2023

1. Soit \(u\) un endomorphisme. Prouver que pour tout \(k\in\mathbf{N}\) on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\) et que, si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+2})\).

2. Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R} [X]\) tel que \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(u\mathbin{\circ} u(P)=P'\) ?

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]

[oraux/ex7460] centrale MP 2013

1. Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).

   1. Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).

   2. Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).

   3. Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).

3. Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).

4. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.

5. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.

[concours/ex9557] centrale PSI 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\2&1&2&1\\1&2&1&2\\2&1&2&1\end{array} \right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) : \(M^2+2M=A\).

[concours/ex9424] mines 2004

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(A)=0\) ?

2. Soit \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\) ?

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[concours/ex9401] centrale 2003

1. Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).

4. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).

   Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?

[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]

1. Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.

2. Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).

3. Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).

4. 1. Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).

   2. En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).

   3. En déduire que \(A = I_n\).