Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3907] centrale PSI 2018

1. Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.

[planches/ex8312] mines PC 2022 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), \(X^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&1&0\cr1&0&4}\).

[ev.algebre/ex0288] On note \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&0&4\end{array}\right)\,.\]

1. Déterminer les droites vectorielles de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(u\). En déduire une base relativement à laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(M^2=A\).

[planches/ex4031] imt MP 2018 Soit \(A=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2+X=A\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}XP\) soient diagonales. Résoudre l’équation.

[oraux/ex4814] escp courts 2012 Trouver les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), ne possédant pas \(-1\) comme valeur propre, telles que \(M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

Indication : on pourra chercher un polynôme annulateur de \(M\).

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[concours/ex8470] mines PSI 2005 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).

[oraux/ex7460] centrale MP 2013

1. Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).

   1. Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).

   2. Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).

   3. Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).

3. Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).

4. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.

5. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.