Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5486] mines PC 2012 Déterminer les \(M\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2+{}^t\; M=I_3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).

2. Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?

[planches/ex8317] mines PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_n\).

1. Montrer que, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0\).

2. En déduire que \(n\) est un multiple de 4.

[concours/ex2850] ens paris M 1994 Soit \(K\) un corps fini, de caractéristique différente de \(2\). Calculer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits\left\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\mid A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\right\}.\]

[concours/ex9997] centrale MP 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer : \(\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ M^5=M^2\hbox{ et }\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\}\).

[concours/ex8528] tpe MP 2005 Quelles sont les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant \(A^3=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\) ?

[concours/ex9746] tpe MP 2008 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\).

[concours/ex9979] mines PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=n\) et \(A^5=A^3\).

[planches/ex3907] centrale PSI 2018

1. Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.

[concours/ex8982] centrale PC 2010 Déterminer toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=A=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\1&4&0\\1&1&0\end{array}\right)\).