Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5153] mines PC 2019 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel non réduit à \(\{0\}\) et \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^3+f=0\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits f=E\).

2. Montrer que \(f\) est un automorphisme si et seulement si \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

   On suppose dans la suite que \(f^2+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

3. Soit \(x\in E\) avec \(x\neq0\). Montrer que \((x,f(x))\) est libre.

4. Soit \((x,y)\in E^2\). On suppose que \((x,f(x),y)\) est libre. Montrer que \((x,f(x),y,f(y))\) est libre.

5. Si \(E\) est de dimension finie, que peut-on dire de sa dimension ?

[oraux/ex5927] escp S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme non nul d’un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\), tel que : \[f^3+f=0.\] On admet que \(f\) possède au moins une valeur propre réelle.

1. Montrer que \(E=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+id)\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 +\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}) \geqslant 1\). Soit \(x \in \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits (f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), \(x\neq 0\) ; montrer que \((x,f(x))\) est une famille libre de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(f\) et les dimensions des sous-espaces propres associés. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

5. Résoudre l’équation \(u^2 = f\), où l’inconnue \(u\) est un endomorphisme de \(E\).

[examen/ex0743] ccinp PSI 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(A^3+9A=0\).

1. Montrer que le spectre complexe de \(A\) est inclus dans \(\{0,3i,-3i\}\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ? dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

3. Montrer que si \(n\) est impair alors \(A\) n’est pas inversible.

4. Montrer que \(A\) ne peut pas être une matrice symétrique.

[concours/ex9890] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(A\neq0\) et \(A^3+A=0\). Les matrices \(A^2\) et \(A\) sont-elles diagonalisables dans \(\mathbf{C}\) ? dans \(\mathbf{R}\) ? Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex3338] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A^3=-A\) et \(B^3=-B\). On suppose que \(A\) et \(B\) ne sont pas nilpotentes. Montrer qu’elles sont semblables.

[concours/ex1948] centrale PC 1999 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(A^3=-A\). Montrer que \(A\) est semblable à \[\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right).\]

[concours/ex8411] centrale 2004 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(X^3=-X\).

[oraux/ex6937] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A-I_n\) soit nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

[examen/ex0410] centrale MP 2023 On se place dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que toute matrice est trigonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\in\mathbf{C}\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(f\) tel que pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\), \(f(\alpha_i)^2=\alpha_i\). En déduire que \(f(D)^2=D\).

   On considère la suite \((c_k)_k\) définie par \(c_0=1\) et, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(c_{k+1}=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^kc_ic_{k-i}\) et le polynôme \(\varphi=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}\).

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\varphi^2\) par \(X^n\).

4. Trouver un polynôme \(g\) tel que, pour toute matrice nilpotente \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on ait \(g(N)^2=I_n+N\).

5. Soit \(A\) une matrice inversible. Montrer qu’il existe \(R\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(R^2=A\).

[concours/ex6094] centrale PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. On suppose \(A\) nilpotente avec \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\). Montrer que l’équation \(A=X^2\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. On suppose \(A\) diagonalisable avec \(n\) valeurs propres distinctes. résoudre \(A=X^2\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).