Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

[planches/ex1863] polytechnique, espci PC 2017 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^3\neq M^4\) et \(M^4=M^5\) ? et dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?

[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).

1. Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).

[planches/ex9354] ens PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=3\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)=5\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^3)=9\). Déterminer la borne inférieure de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^2)\) lorsque \(M\) décrit \[\left\{ M\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\ ;\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM)=1\hbox{ et } \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2M)=1\right\}.\]

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[concours/ex9920] polytechnique MP 2010 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits A=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[concours/ex0164] mines MP 1996 Résoudre l’équation \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&3&-7\\2&6&-14\\1&3&-7\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).