Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7515] petites mines PSI 2013 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=3\) et \(M^5=M^2\).

[examen/ex0057] mines PSI 2023 Soit \(A=\pmatrix{1&0&0\cr1&2&1\cr2&-2&-1}\).

1. Donner le spectre de \(A\) et ses espaces propres. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{R})\) tel que \(A=PTP^{-1}\) avec \(T=\pmatrix{0&0&-3\cr0&1&4\cr0&0&1}\).

3. Trouver l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(MT=TM\).

4. Soit \(N\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(N^2=T\). Montrer que \(NT=TN\).

   Trouver l’ensemble des matrices \(N\) telles que \(N^2=T\).

5. En déduire l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(A=M^2\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[planches/ex5683] ccinp PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{1&-2\cr-3&-1}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Est-ce que \(A\) admet une racine carrée réelle ?

[concours/ex1216] mines MP 1998 Trouver une matrice \(M\), si elle existe, vérifiant \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&1&0\\2&1&2\end{array}\right)\) (resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&2&0\\2&1&2\end{array}\right)\), resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\2&1&2\end{array}\right)\)).

[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?

[concours/ex6800] escp B/L 2009 On considère la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{array}\right)\).

L’objet de l’exercice est de résoudre dans \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) l’équation \((E)\) d’inconnue \(M\) : \(M^2=A\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).

2. Démontrer que si \(M\) est une solution de \((E)\), alors les matrices \(A\) et \(M\) commutent et tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).

3. En déduire que toute solution de \((E)\) est diagonalisable et déterminer toutes les solutions de \((E)\).

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).

On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

1. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

   2. Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).

2. Dans cette question, on suppose \(n=2\).

   1. Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.

   2. Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.

      En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).

   3. Résoudre l’équation \((E)\).

3. Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).