Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4370] hec E 2001 On considère les matrices suivantes : \(A=\left(\begin{array}{cc}-3&4\\4&-3\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\), \(I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\).

1. 1. Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?

   2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et \(B\).

2. On veut déterminert les matrices \(M\), carrées d’ordre 2 à coefficients réels, vérifiant les conditions : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{rcl}M^3-3M^2+3M&=&A\\M^2+2M&=&B\end{array}\right.\] On dira qu’une telle matrice est solution du système \((S)\). On suppose que le système \((S)\) a des solutions et l’on note \(M\) l’une d’entre elles.

   1. Etablir les égalités : \((M-1)^3=A-I\) et \((M+I)^2=B+I\).

   2. En déduire que les matrices \((M-I)\) et \((M+I)\) ne sont pas inversibles.

   3. En déduire que la matrice \(M\) est diagonalisable et vérifie l’égalité \(M^2=I\).

   4. Déterminer toutes les solutions du système \((S)\).

3. On veut déterminer les matrices \(M\) carrées d’ordre 2 à coefficients réels vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\). Notons \(M\) une telle matrice (s’il en existe).

   1. Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) et une matrice \(P\) inversible tels que l’on a : \(M=P\left(\begin{array}{cc}1&a\\0&b\end{array}\right)P^{-1}\).

   2. En déduire que la matrice \(M^2-4M+7I\) est inversible.

   3. Etablir les égalités : \((M+I)(M^2-4M+7I)=A+7I\).

   4. Déterminer toutes les matrices \(M\) vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\).

[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[concours/ex6800] escp B/L 2009 On considère la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{array}\right)\).

L’objet de l’exercice est de résoudre dans \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) l’équation \((E)\) d’inconnue \(M\) : \(M^2=A\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).

2. Démontrer que si \(M\) est une solution de \((E)\), alors les matrices \(A\) et \(M\) commutent et tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).

3. En déduire que toute solution de \((E)\) est diagonalisable et déterminer toutes les solutions de \((E)\).

[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?

[oraux/ex5710] centrale PC 2012 Déterminer les \(u\in{\cal L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(u^3=u\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=3\).

[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.

2. Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).

3. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.

4. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.

5. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.

6. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).

[concours/ex8552] ccp PC 2005 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-2M^2+M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).