Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9937] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) semblables à leur inverse.

[concours/ex9887] ccp PSI 2009 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

2. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tel que \(M^5+M^3+M=A\).

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[examen/ex0740] ccinp PSI 2023 Pour \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on cherche les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A\) \((*)\).

1. 1. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\), \((*)\) n’a pas de solution.

   2. En déduire une condition nécessaire pour que \((*)\) possède une solution.

2. 1. Calculer le déterminant de \(A=\pmatrix{2+a&2&1+a\cr3-a&3&3-a\cr-2&-2&-1}\). En déduire une condition nécessaire portant sur \(a\) pour que \((*)\) possède une solution. On suppose par la suite que \(a\geqslant 0\).

   2. Calculer \(\chi_A\) et déterminer les éléments propres de \(A\). On distinguera les cas \(a=1\) et \(a=3\).

3. Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A=PDP^{-1}\). On suppose par la suite que \(a\not\in\{1;3\}\).

   1. On suppose qu’il existe \(M\) telle que \(M^2=D\). Montrer que \(MD=DM\).

   2. En déduire toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=D\).

   3. Montrer que \(M^2=D\ \Leftrightarrow\ (PMP^{-1})^2=A\).

   4. En déduire toutes les matrices \(B\) telles que \(B^2=A\).

[concours/ex0164] mines MP 1996 Résoudre l’équation \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&3&-7\\2&6&-14\\1&3&-7\end{array}\right)\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

[planches/ex2702] ensam PSI 2017

1. La matrice \(A=\pmatrix{0&0&1\cr2&1&0\cr0&0&1}\) est-elle diagonalisable ?

2. Est-elle trigonalisable ? Si oui, la trigonaliser.

3. Montrer que si \(M^2=A\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\subset\{-1,0,1\}\).

4. Résoudre l’équation \(M^2=A\).

[concours/ex1792] mines MP 1999 Résoudre \(X^n=\left(\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\) lorsque \(X\) est une matrice carrée complexe. Quelles sont les solutions réelles ?

[planches/ex4441] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que \(AB=BA\) et \(A^n=B^n=I_n\). Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)=n\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[oraux/ex7379] ens paris MP 2013 Déterminer les matrices \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\exists M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) : \(M^k=A\).

[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.

2. Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).

3. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.

4. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.

5. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.

6. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).