Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7741] polytechnique MP 2022 Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, et \(n\geqslant 2\) un entier. On suppose que toutes les valeurs propres de \(f\) sont simples. Déterminer les \(u\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(u\mathbin{\circ} f-f\mathbin{\circ} u=u^n\).

[concours/ex1216] mines MP 1998 Trouver une matrice \(M\), si elle existe, vérifiant \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&1&0\\2&1&2\end{array}\right)\) (resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&2&0\\2&1&2\end{array}\right)\), resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\2&1&2\end{array}\right)\)).

[concours/ex0166] mines MP 1996 Soit \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\,.\] Résoudre l’équation à l’inconnue \(X\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \[5X^2+3X=A\,.\]

[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[oraux/ex7617] ccp PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{1&2&0\cr0&3&0\cr1&4&-1}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\) et trouver une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est nécessairement diagonale.

3. Soit \(P=X^7+X+1\). Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P(M)=A\).

[concours/ex9918] polytechnique MP 2010 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(J_n\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

1. Résoudre \(X^2+X=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

2. Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Résoudre \(P(X)=J_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

3. Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[planches/ex5383] centrale PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \((E_1)\) : \(A^4+I_2=0\) et \((E_2)\) : \(A^TA=AA^T\). On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes respectivement représentés par \(A\) et \(A^T\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^2\).

1. 1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Quelles sont les valeurs propres possibles ?

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(u\) est vecteur propre de \(v\).

2. Quelles sont les matrices satisfaisant \((E_1)\) et \((E_2)\) ?

[planches/ex6374] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes PC 2021

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\exists B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), \(A=B^2\) ;

   2. \(A=0\) ou \(A^2\neq0\).

2. Déterminer si les matrices suivantes sont des carrés dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \[\pmatrix{-1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{1&0\cr0&-1},\quad\pmatrix{0&1\cr-1&0}.\]

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(B\) et \(C\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(A=B^2+C^2\).