Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5422] mines PSI 2012 Soient \(A,B\) dans \({\cal M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe \(U\in {\cal M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(AU=UB\).

[oraux/ex7824] centrale PSI 2016 On considère les matrices \(A=\pmatrix{1&2&3\cr2&1&3\cr4&2&0}\) et \(B=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&-1}\).

1. Étudier la diagonalisabilité de \(A\) et \(B\).

2. Soit \(C=\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MB\}\). Soit \(f\) la fonction qui prend en argument une liste de 9 éléments et dont le code est :

   def f(x):
       X=np.array(x)
       X=X.reshape((3,3))
       Y=A.dot(X)-X.dot(B)
       return(Y.reshape(9))

   Décrire ce que fait la fonction \(f\). En déduire que l’ensemble \(C\) est une droite vectorielle engendrée par une matrice de la forme \(U{}^tV\) où \(U\), \(V\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

3. On se place maintenant dans le cas \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose \(M\in C\). Montrer que \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\). Déterminer \(\chi_B(A)M\).

4. On suppose dans cette question que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\) (il s’agit ici de spectre complexe). Déterminer \(C\).

[oraux/ex7646] polytechnique MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\) l’ensemble des valeurs propres complexes de \(M\). Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)<0\) et \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)\leqslant 0\). Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’équation \(C=XA+AX\) possède une et une seule solution.

[oraux/ex8619] ccp PSI 2016

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant au moins une valeur propre commune.

   1. Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbf{C}\) et \(X\), \(Y\in\mathbf{C}^n\) non nuls, tels que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\). En déduire qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(MA=BM\).

   2. Trouver \(M\) pour \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\) et \(B=\pmatrix{3&1\cr0&1}\).

2. On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient \(A\), \(B\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(MA=BM\).

   1. Montrer que si \(M\) est inversible alors \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

   2. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), on a \(MP(A)=P(B)M\).

   3. On suppose \(M\neq0\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.

[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).

[oraux/ex7675] mines PC 2015 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable telle que : \(\forall(\lambda,\mu)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)^2\), \(\lambda+\mu\neq0\). Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AM+MA=0\). Montrer que \(M=0\).

[oraux/ex7559] polytechnique, espci PC 2014 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{L}(E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune. Montrer qu’il existe \(\phi\in\mathscr{L}(E)\) de rang 1 tel que \(\phi\mathbin{\circ} f=g\mathbin{\circ}\phi\).

[concours/ex0895] centrale MP 1997 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. On pose, pour toute matrice carrée réelle \(X\) de même taille : \[\Phi(X)=X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\,.\] Déterminer les éléments propres de \(\Phi\). Résoudre l’équation \(\Phi(X)=B\).

[planches/ex5698] ccinp PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle et \(\varphi:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\longmapsto X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A)\) puis que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq-1\).

2. Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\).

[concours/ex9611] centrale PSI 2006 Soient \(E=\mathscr{M}_{2p}(\mathbf{R})\) et \(B=(B_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2p}\) où \(B_{i,j}=1\) si \(i=j\) ou si \(i+j=2p+1\), et 0 sinon. Soit \(\psi\) définie sur \(E\) par : \(\forall A\in E\), \(\psi(A)=A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)B\).

1. Montrer que \(\psi\in\mathscr{L}(E)\). Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\psi\).

2. Soit \(M\in E\). Résoudre \(\psi(X)=M\), d’inconnue \(X\in E\).

3. Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de \(\psi\).