Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[oraux/ex5153] polytechnique, espci PC 2012 Existe-t-il \(A\in{\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(A^{2012}=\left( \begin{array}{cc} -1&0\\0&-2\end{array}\right)\) ?

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[concours/ex9671] polytechnique, espci PC 2008

1. Montrer qu’une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) non diagonalisable est de la forme \(aI_2+N\) où \(a\in\mathbf{C}\) et \(N\) est nilpotente non nulle.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tels que \(X^n=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).

1. Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).

[concours/ex9918] polytechnique MP 2010 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(J_n\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

1. Résoudre \(X^2+X=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

2. Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Résoudre \(P(X)=J_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

3. Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex9751] ensea PSI 2008 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(2M+M^2+3M^3=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex9887] ccp PSI 2009 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

2. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tel que \(M^5+M^3+M=A\).

[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).

[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.