Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8895] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que telles que : \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9616] centrale PC 2006 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension 2 et \(u\in\mathscr{L}(E)\) diagonalisable. Résoudre l’équation \(v^2=u\) d’inconnue \(v\in\mathscr{L}(E)\). L’ensemble des solutions est-il fini ?

[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[planches/ex2196] mines PSI 2017 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(\{B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\) soit fini et non vide. Que dire du cardinal de cet ensemble ?

[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.

2. Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).

3. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.

4. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.

5. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.

6. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).

[planches/ex6218] escp S 2021 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est \(A=\pmatrix{ 1 & 1 &-1\cr -1 & 3 & -3\cr -2 & 2 & -2}\).

1. 1. Calculer le rang de \(f\). Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\)

   2. Calculer \(A^2\) et son rang.

   3. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\).

   4. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\).

   5. En déduire que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{ 0 & 1 &0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 2}\).

2. Dans cette question, on cherche à déterminer les endomorphismes \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(g^2=f\).

   1. Montrer que si \(g\) est une solution, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\) sont stables par \(g\).

   2. En déduire les solutions de l’équation \(g^2=f\).

[concours/ex9956] mines MP 2010 Soit \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(M^{p+2}=M\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).

[examen/ex1213] ens PC 2024 Existe-t-il deux matrices \(N\) et \(P\) de \(\mathscr{M} _n(\mathbf{R})\) telles que \(N^2=0\), \(P^2=P\), \(NP\) est nilpotente et \((NP)^2\neq 0\) ?

[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).