Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0028] ccp MP 2010 Soit \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=M\) ? Même question en remplaçant \(\mathbf{C}\) par \(\mathbf{R}\).

[planches/ex3618] mines PSI 2018 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Montrer qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=0_n\).

2. Soit \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(Q=X^2+aX+b\) n’admette pas de racine réelle. Montrer qu’il existe une matrice \(N\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P(N)=0_2\).

3. Existe-t-il toujours une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(M)=0_n\) ?

[planches/ex4640] polytechnique MP 2019 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de polynôme minimal \(X^3+2X+2\). Même question dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\).

[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).

[concours/ex6100] centrale PC 2007 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=A\).

[planches/ex2310] mines PC 2017 Soit \(A=\pmatrix{-5&6\cr3&-2}\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable ; préciser ses valeurs propres.

2. Déterminer les \(B\) telles que \(B^2=A\).

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[planches/ex2196] mines PSI 2017 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(\{B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\) soit fini et non vide. Que dire du cardinal de cet ensemble ?

[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

[concours/ex8677] mines MP 2008 Condition sur \(n\in\mathbf{N}^*\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \[A^2+2A+5I_n=0\ ?\]