Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5919] centrale MP 2007 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\mathscr{I}(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable et on note \(p\) le nombre de valeurs propres distinctes de \(M\). Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) et le cardinal de \(\mathscr{I}(M)\).

2. On suppose \(M\) nilpotente. Décrire \(\mathscr{I}(M)\).

3. Que dire dans le cas général du cardinal de \(\mathscr{I}(M)\) ?

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).

[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).

[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

1. Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).

2. Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?

3. Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[planches/ex3620] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telle que \(4A^3+2A^2+A=0\). Montrer que \((A^k)_{k\geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite. Qu’en déduire sur \(A\) ?

[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex5576] mines MP 2007 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) l’équation : \(M^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&6\end{array}\right)\).

[concours/ex3941] polytechnique pox M 1990 Trouver, pour \(n\in\mathbf{N}\) donné, les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \[X^n=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right].\]

[oraux/ex7788] mines PC 2016 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).