Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).

[concours/ex9841] mines PC 2009 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^3-4M^2+4M=0\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[examen/ex1317] polytechnique MP 2024 La matrice \(\pmatrix{1&2024\cr0&1}\) peut-elle s’écrire \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\) avec \(A\in \mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[planches/ex4645] polytechnique MP 2019 Soit \(a\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&a\cr0&1}\).

[concours/ex9416] centrale 2003 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]\) l’algèbre des polynômes en \(M\) et : \[I(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}.\]

1. On suppose, dans cette question, que \(M\) est diagonalisable. Soit \(p\) le cardinal de son spectre. Quelle est la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ? Quel est le cardinal de \(I(M)\) ?

2. Déterminer \(I(M)\) dans le cas où \(M\) est nilpotente.

3. Que dire de \(I(M)\) dans le cas général ?

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).

[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).