Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.

1. Que peut-on dire de \(u\) ?

2. Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).

3. Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?

[oraux/ex4761] escp S 2012 Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Soient \(A\) et \(R\) deux matrices carrées réelles d’ordre \(n\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) si \(R^2=A\).

1. 1. Soit \(\theta\) un réel quelconque et \(R(\theta)\) la matrice : \(R(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta & \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta &- \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta\end{array}\right)\).

      Calculer le carré de cette matrice et en déduire que la matrice identité d’ordre \(2\) admet une infinité de racines carrées.

   2. Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n’a pas de racine carrée.

2. 1. Donner le développement limité à l’ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de \(t \mapsto \sqrt{1+t}\).

   2. Soit \(N\) une matrice carrée d’ordre \(n\) telle que \(N^4=0\). Déduire de la question précédente une racine carrée de la matrice \(I+N\).

3. Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbf{R}^n\). On suppose que \(f\mathbin{\circ} g= g\mathbin{\circ} f\) et que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles distinctes.

   1. Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).

   3. Justifier que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.

   4. Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\). Combien \(A\) admet-elle de racines carrées ?

[planches/ex7383] navale PC 2021 Soient \(A=\pmatrix{-1&0\cr10&4}\) et \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\).

1. Déterminer les racines des polynômes \(X^3-2X+1\) et \(X^3-2X-4\).

2. Déterminer les matrices qui commutent avec la matrice \(D\).

3. Résoudre l’équation \(M^3-2M=D\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

4. Résoudre l’équation \(M^3-2M=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex0694] ensae MP 1997 Déterminer les matrices \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^3-2X=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\10&4\end{array}\right)\).

[planches/ex6957] mines PC 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(v\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme surjectif dont le noyau est une droite vectorielle.

1. Donner un exemple d’un tel endomorphisme si \(E=\mathbf{R}[X]\).

2. L’espace \(E\) peut-il être de dimension finie ?

3. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=v\).

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]

[oraux/ex6890] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’indice impair.

[oraux/ex4041] mines PC 2011 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[concours/ex5587] mines MP 2007 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\1&0&&&\vdots\\ 0&1&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente de rang \(n-1\). Montrer que \(A\) est semblable à \(M\).

2. Soit \(J(\lambda)=\lambda I_n+M\) avec \(\lambda\in\mathbf{C}\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits J(0)\). Montrer que \(J(\lambda)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(\mathscr{M}_n(\mathbf{R}))\) pour \(\lambda\in\mathbf{R}^*\).

[concours/ex9919] polytechnique MP 2010 La matrice \(-I_2\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle un carré ? Une exponentielle ?