Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8314] ens paris, ens lyon, ens cachan 2003 Déterminer l’image de \(\varphi:A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\mapsto A^3\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).

[planches/ex4587] ens PC 2019 Soit \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\). Caractériser les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=M^n\).

[concours/ex9554] centrale MP 2005

1. Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).

2. Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?

[planches/ex6571] polytechnique, espci PC 2021

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\) si, et seulement si il existe \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) inversible telle que \(B=PA\).

2. Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que pour toute matrice \(P\) inversible, la matrice \(PA\) est diagonalisable. Que dire de \(A\) ?

[concours/ex9700] mines PSI 2008 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) avec \(m\) impair, \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^m=A\).

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[oraux/ex7810] centrale MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 2\), \(f\in\mathscr{L}(E)\) et \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(f\) sans zéro réel.

1. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre et que \(n\) est pair.

2. Le but est de trouver une base \(e\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, les blocs étant tous égaux à \(A=\pmatrix{0&-b\cr1&-a}\). Soient \(x\in E\) non nul et \(y=f(x)\). Montrer que \(H_x=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est un plan stable par \(f\). En déduire le résultat souhaité.

[concours/ex9128] hec courts S 2010

1. Soit \(n\) un entier \(\geqslant 2\) et \(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les termes diagonaux sont distincts.

   Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice telle que \(C^2=D\). Montrer que \(C\) est diagonalisable.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.

   Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A\).

   1. Montrer que \(B\) est diagonalisable.

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(B\) est vecteur propre de \(A\).

      En déduire qu’une base de vecteurs propres de \(A\) est aussi une base de vecteurs propres de \(B\).

   3. Application : trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).