Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1055] polytechnique MP 1998 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) définie par \(M\mapsto AM-MB\).

1. Soient \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\). Montrer que \(a-b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\).

2. Soient \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\) et \(N\in E_\lambda(f)\). Montrer que, pour tout \(Q\in\mathbf{C}[X]\), on a \(Q(A)N=NQ(B+\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n)\).

   En déduire qu’il existe \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\) tels que \(\lambda=a-b\).

3. Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(M\neq0\) telle que \(AM=MB\) ?

[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).

1. Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.

   On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).

2. Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).

3. Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).

4. Montrer que \(M\) est la matrice nulle.

5. Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?

[planches/ex7328] ccinp PSI 2021

1. Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.

2. Soient \(A\), \(B\), \(C\), dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). On suppose que \(AC=CB\) et que \(C\neq0\). Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)C=CP(B)\).

3. Montrer qu’un produit de matrices est inversible si et seulement si tous ses facteurs le sont. En déduire que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.

4. Réciproquement, si \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune, montrer qu’il existe une matrice \(C\) non nulle telle que \(AC=CB\).

[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).

2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.

[oraux/ex4672] hec S 2011

1. Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?

2. Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.

   1. Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).

   2. En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   3. Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

3. Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).

   1. Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).

   2. Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).

4. Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   1. Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?

   2. Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).

   3. Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.

[concours/ex5923] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\). On considère l’équation \((E)\) : \(AX=XB\), où l’inconnue \(X\) est dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. On suppose que \((E)\) possède une solution non nulle \(Y\).

   1. Montrer, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), que \(P(A)Y=YP(B)\).

   2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

2. On suppose que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

   1. Montrer : \(\forall(M,N)\in(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\})^2\), \(\exists Q\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(MQN\neq0\).

   2. Montrer que \((E)\) admet une solution non nulle.

[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).

1. On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).

   Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.

2. Établir la réciproque.

[concours/ex9646] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et \(\Phi_{A,B}\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que : \(\forall M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(\Phi_{A,B}(M)=AM+MB\).

1. Déterminer la matrice de \(\Phi_{A,B}\) dans la base \((E_{1,1},\ldots,E_{1,n},E_{2,1},\ldots,E_{2,n},\ldots,E_{n,n})\).

2. Montrer que si \(A\) est semblable à \(C\) alors \(\Phi_{C,B}\) est semblable à \(\Phi_{A,B}\).

3. Exprimer les valeurs propres de \(\Phi_{A,B}\) en fonction de celles de \(A\) et \(B\).

4. Montrer l’équivalence entre :

   1. \(\exists M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\setminus\{0\}\), \(AM=MB\) ;

   2. \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

[oraux/ex7731] polytechnique MP 2016 Soient \((m,n)\in(\mathbf{N}^*)^2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(B\in\mathscr{M}_m(\mathbf{C})\), \(C\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\). Montrer que l’équation \(AX-XB=C\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,m}(\mathbf{C})\) possède une et une seule solution si et seulement si \(A\) et \(B\) n’ont pas de valeur propre commune.

[concours/ex5920] centrale MP 2007 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow AX-XB\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Soit \(\lambda\) (resp. \(\mu\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\lambda-\mu\) est valeur propre de \(f\).

2. Réciproquement, soit \(\alpha\) une valeur propre de \(f\). Montrer qu’il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et une valeur propre \(\mu\) de \(B\) telles que \(\alpha=\lambda-\mu\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(A\) et \(B\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM-MB=0\).