Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0638] Soient \(ABC\) un triangle équilatéral et \(M\) un point à l’intérieur de \(ABC\). Montrer que la somme des distances de \(M\) aux trois côtés de \(ABC\) ne dépend pas de \(M\).

[concours/ex6207] tpe PSI 2007 Soit \(ABC\) un triangle quelconque d’un plan euclidien. Déterminer le maximum de la fonction \(f\) qui à un point \(M\) intérieur au triangle associe le produit des distances de \(M\) aux trois côtés. En quel point ce maximum est-il atteint ?

[oraux/ex1414] polytechnique 2003 Soit \(ABC\) un triangle. On définit : \[\begin{array}{rcl}f:ABC &\longrightarrow&\mathbf{R}\\ M&\longmapsto&d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC).\end{array}\] Maximiser \(f\) sur le triangle.

Même question avec \(f:M\mapsto d(M,AB)\times d(M,AC)\times d(M,BC)\).

Même question avec \(f:M\mapsto\|\mathchoice{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MA}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MB}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{MC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MC}}\|\).

[oraux/ex1449] polytechnique 2004 On considère un triangle \(ABC\), et un point \(M\) dans ce triangle (à l’intérieur, mais en comptant les 3 segments). Quels sont les emplacements de \(M\) tels que le produit des 3 distances de \(M\) aux côtés soit extrémal ?

[oraux/ex1581] tpe MP 2006 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan euclidien, \(\mathscr{T}\) le triangle plein de sommets \(A\), \(B\), \(C\) et \(f:M\in\mathscr{T}\mapsto d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC)\). Déterminer \(\{M\in\mathscr{T},\ f(M)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits f\}\).

[oraux/ex1514] centrale MP 2005

1. Trouver le nombre de régions du plan délimitées par \(n\) droites en position générale.

2. Soit trois droites du plan. Étudier la fonction qui à un point du plan associe la somme des distances à ces droites.

3. Trouver le nombre de régions de l’espace délimitées par \(n\) plans en position générale.

[concours/ex6141] centrale PC 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien. Si \(M\) est un point de \(\mathbf{R}^2\), on note \(P\), \(Q\), \(R\) les projections orthogonales de \(M\) sur \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\).

Que dire de \(f:M\mapsto MP+MQ+MR\) ?

[concours/ex5316] ens lyon MP 2007 Soient \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien \(\mathscr{P}\). On considère l’application \(d:M\in\mathscr{P}\mapsto AM+BM+CM\).

1. Montrer que \(d\) présente un minimum. On note \(M_0\) un point en lequel ce minimum est atteint.

2. Montrer que si \(M_0\not\in\{A,B,C\}\) les angles \(\widehat{AM_0B}\), \(\widehat{BM_0C}\) et \(\widehat{CM_0A}\) valent \(120^o\) et que les angles du triangle \(ABC\) sont strictement inférieurs à \(120^o\).

3. Montrer que si \(M_0=A\) l’angle \(\widehat{BAC}\) est supérieur ou égal à \(120^o\).

4. Établir l’unicité de \(M_0\).

[concours/ex3785] centrale M 1992 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan. Montrer que l’application numérique \(f\) définie en un point \(M\) du plan par : \[f(M)=AM+BM+CM\] atteint son minimum. Celui-ci est-il unique ? En donner une construction géométrique.

[concours/ex0402] ens paris MP 1996 Soit \(ABC\) un triangle du plan affine euclidien \(\mathscr{P}\). Étudier l’application \(f\) de \(\mathscr{P}\) dans \(\mathbf{R}\) : \(P\mapsto PA+PB+PC\).

[concours/ex0817] mines MP 1997 On considère un triangle du plan d’aire \(S\) et dont les côtés sont de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\).

[geo.affine/ex0628] Soient \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=\displaystyle{1\over2}(a+b+c)\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(p\).

2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire \(S\) de \(ABC\) : \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

[oraux/ex1539] tpe PSI 2005 Soient \(ABC\) un triangle quelconque du plan, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=(a+b+c)/2\) et \(S\) l’aire euclidienne de \(ABC\).

1. Montrer que \(4b^2c^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(\widehat A)=(a^2-b^2-c^2)^2\).

2. Montrer que : \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

3. Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{p^2\over3\sqrt3}\) et étudier le cas d’égalité.

[oraux/ex1657] mines MP 2009 Trouver les triangles qui à périmètre \(2p\) fixé ont une aire maximale ; calculer cette aire.

Indication : On admet que l’aire d’un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et de demi-périmètre \(p\) est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

[concours/ex2399] mines M 1995 Soit \((A,B,C)\) un triangle de demi-périmètre \(p\) et dont les côtés ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\).

1. Montrer que l’aire du triangle est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

2. Quels sont les triangles de demi-périmètre \(p\) donné et d’aire maximale ?

[concours/ex0288] mines MP 1996 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle et \(A\) son aire. Montrer que \(A\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\). Étudier le cas d’égalité.

[concours/ex5755] mines MP 2007 Soit \(ABC\) un triangle du plan euclidien de côtés \(a\), \(b\), \(c\), de périmètre \(p\) et d’aire \(S\). Montrer : \[S\leqslant{p^2\over12\sqrt3}\quad\hbox{et}\quad S\leqslant{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}.\] Étudier les cas d’égalité.

[oraux/ex1749] ens paris 2003 Soit \(P\) un polygone convexe de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On note \(\partial P\) le bord de \(P\) et, pour \(S\subset\mathbf{R}^2\), \(N(S)=|S\cap\mathbf{Z}^2|\).

Donner une relation entre \(N(P)\), \(N(\partial P)\) et l’aire de \(P\).

[planches/ex7649] ens lyon MP 2022 On se place dans \(\mathbf{R}^2\). Les éléments de \(\mathbf{Z}^2\) sont les points entiers. On appelle polygone entier un polygone dont les sommets sont des points entiers. Montrer que l’aire d’un polygone entier est égale à \(i+\displaystyle{k\over2}-1\) où \(i\) est le nombre de points entiers à l’intérieur (strict) du polygone et \(k\) le nombre de points entiers sur le bord du polygone.

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?

[concours/ex6453] polytechnique MP 2006

1. Soit \(P(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-2(xy)^2-2(yz)^2-2(xz)^2\). Factoriser \(P\).

2. Soit \(ABC\) un triangle dont les longueurs des côtés sont \(a\), \(b\), \(c\). On note \(S\) son aire. Montrer que \(P(a,b,c)=-16S^2\).

[oraux/ex1476] polytechnique MP 2005 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle d’aire \(s\). Montrer que : \[16s^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).\]

[oraux/ex1621] centrale MP 2008 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan affine euclidien orienté, \(S\) l’aire du triangle \(ABC\), \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\).

1. Exprimer \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\wedge\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|^2+\langle\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}},\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\rangle^2\) en fonction de \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\|\) et \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|\).

2. Montrer \(S^2=\displaystyle{(a^2+b^2+c^2)^2\over16}-{a^4+b^4+c^4\over8}\).

3. Montrer : \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\).

[concours/ex0548] tpe, int, ivp MP 1996 On considère un triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) et d’aire \(S\). Montrer que \[16S^2=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)\,.\] En déduire que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\) et traiter le cas d’égalité.

[examen/ex0241] mines PC 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) des réels positifs avec \(\alpha+\beta+\gamma=\displaystyle\frac\pi2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\gamma\leqslant\displaystyle\frac18\).

[geo.affine/ex0641] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat A\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat B\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat C\over 2}\leqslant{1\over8},\] et étudier le cas d’égalité.

[examen/ex2805] ens paris MP 2025 Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) dans \(\mathbf{R}^{+*}\). Quelle est l’aire maximale d’un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ?

[oraux/ex1594] polytechnique MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle du plan. On note \(\widehat A\), \(\widehat B\) et \(\widehat C\) les angles des sommets respectifs \(A\), \(B\) et \(C\), et \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés \(BC\), \(AC\), \(AB\).

1. Montrer que la quantité « hauteur \(\times\) côté opposé » ne dépend pas du sommet à partir duquel elle est calculée.

2. Soit \(R\) le rayon du cercle circonscrit au triangle. Montrer : \[2R={a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}.\]

3. En déduire une relation simple entre aire, rayon du cercle circonscrit et côtés du triangle.

[geo.affine/ex0648] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer : \[R={a\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}={a+b+c\over2(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C)}.\]

[geo.affine/ex0651] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(r\) le rayon du cercle inscrit dans \(ABC\).

Montrer : \[r={a+b+c\over2\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\right)}.\]

[oraux/ex1591] polytechnique MP 2008

1. Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).

   1. Que dire des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) ?

   2. Lier l’aire de \(A'B'C'\) à celle de \(ABC\).

2. Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

   1. Peut-on lier l’aire de \(A'B'C'D'\) à celle de \(ABCD\) ?

   2. Peut-on trouver \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) si l’on connaît \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) ?

[planches/ex1799] polytechnique MP 2017 Soit \(T\) un triangle dont les angles géométriques sont notés \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (éléments de \(\left]0,\pi\right[\)). Montrer que : \[{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha}+{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta}\geqslant{8\over3+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\gamma}.\]

[geo.affine/ex0758] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\), de côtés \(a\), \(b\), \(c\). Montrer que si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) et \(R\) son rayon, alors : \[OG^2=R^2-{1\over9}(a^2+b^2+c^2).\]

[geo.affine/ex1327] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\), \(r\) celui du cercle inscrit, et \(S\) l’aire de \(ABC\).

Montrer : \[R={abc\over4S},\quad r={2S\over a+b+c},\quad2Rr(a+b+c)=abc.\]

[complexes/ex0213] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\) quelconque. Montrer que : \[3(GA^2+GB^2+GC^2)=AB^2+BC^2+AC^2.\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]

[geo.affine/ex1170] Montrer que l’aire d’un quadrilatère est la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l’angle entre elles.

[examen/ex1390] polytechnique MP 2024 Soit \(P\) un polynôme réel de degré \(6\). Une droite \(D\) est tangente à la courbe \(C_P\) en trois points \(A\), \(B\), \(C\) d’abscisses \(a<b<c\).

1. On suppose que \(AB=BC\). Montrer que les aires délimitées par \([BC]\) et \(C_P\) d’une part, et par \([AB]\) et \(C_P\) d’autre part, sont égales.

2. On pose : \(q =\displaystyle\frac {BC}{AB}\) et \(Q =\displaystyle\frac{A_1}{A_2}\) avec \(A_1\) et \(A_2\) les aires susmentionnées. Montrer que : \(\displaystyle\frac {2}{7}q^5\leqslant Q\leqslant\frac {7}{2}q^5\).

[geo.affine/ex0640] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer que \(ABC\) est rectangle si et seulement si : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat C=1.\]

[geo.affine/ex0755] Dans le plan usuel, rapporté à un repère orthonormé, soit les droites : \[D_1\ :\ 3x+y-5=0,\quad D_2\ :\ x-2y+3=0,\quad D_3\ :\ 4x-y-9=0.\] Déterminer l’aire du triangle déterminé par les trois droites.

[oraux/ex1620] centrale MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et trois droites parallèles \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) passant respectivement par \(A\), \(B\) et \(C\). On suppose que \(D_C\) est située entre \(D_A\) et \(D_B\) et l’on note \(a\) la distance entre \(D_A\) et \(D_C\), \(b\) la distance entre \(D_B\) et \(D_C\). Soit \(p\) le point d’intersection différent de \(C\) de \(D_C\) avec le cercle circonscrit à \(ABC\).

1. Montrer que \(AP=\displaystyle{2\over\sqrt3}a\).

2. Calculer de même \(BP\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(AB\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) en fonction de \(a\) et de \(b\).

[geo.affine/ex0642] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Montrer : \[(BN)\perp(CP)\Longleftrightarrow b^2+c^2=5a^2.\]

[concours/ex6456] polytechnique MP 2006 On note \(\mathscr{A}\) l’ensemble des triplets \((a,b,c)\) de réels strictement positifs tels que \(a+b\geqslant c\), \(bc\geqslant a\) et \(c+a\geqslant b\).

Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(a,b,c)\in\mathscr{A}}\displaystyle{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\over abc}\). Interprétation géométrique.

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[oraux/ex1455] polytechnique 2004 Soit \(ABC\) un triangle de périmètre \(p\).

1. Rappeler la définition du cercle inscrit du triangle \(ABC\). Soient \(I\) le centre de cercle et \(r\) son rayon.

2. Montrer que \(BC\,\mathchoice{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IA}}+CA\,\mathchoice{\overrightarrow{IB}}{\overrightarrow{IB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IB}}+AB\,\mathchoice{\overrightarrow{IC}}{\overrightarrow{IC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IC}}=\vec0\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) à l’aide de \(r\) et \(p\).

[concours/ex5491] polytechnique MP 2007

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\) pour qu’existent trois points \(A\), \(B\), \(C\) du plan euclidien tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}.\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}=\alpha\), \(\mathchoice{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BC}}.\mathchoice{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BA}}=\beta\) et \(\mathchoice{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CA}}.\mathchoice{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CB}}=\gamma\).

2. On suppose la condition précédente réalisée et \(\alpha\beta\gamma\neq0\). Montrer que l’orthocentre \(H\) de \(ABC\) est le barycentre du système pondéré : \((A,1/\alpha)\), \((B,1/\beta)\), \((C,1/\gamma)\).

[oraux/ex9506] centrale PSI 2014 Soient \(ABC\) un triangle, \(T\) l’ensemble des points intérieurs à \(ABC\) et \(S\) l’aire de \(ABC\). On note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), \(r(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((BC)\), \(q(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AC)\), et \(p(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AB)\).

1. Montrer que : \(ar(M)+bq(M)+cp(M)=2S\).

2. Montrer que \(M\mapsto r(M)q(M)p(M)\) atteint un maximum sur \(T\).

3. En quels points ce maximum est-il atteint ?

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[oraux/ex1427] mines 2003 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c>0\).

1. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des côtés d’un triangle ?

2. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des hauteurs d’un triangle ?

3. Reprendre ces questions en imposant que le triangle soit acutangle.