Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5491] polytechnique MP 2007

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\) pour qu’existent trois points \(A\), \(B\), \(C\) du plan euclidien tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}.\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}=\alpha\), \(\mathchoice{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BC}}.\mathchoice{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BA}}=\beta\) et \(\mathchoice{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CA}}.\mathchoice{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CB}}=\gamma\).

2. On suppose la condition précédente réalisée et \(\alpha\beta\gamma\neq0\). Montrer que l’orthocentre \(H\) de \(ABC\) est le barycentre du système pondéré : \((A,1/\alpha)\), \((B,1/\beta)\), \((C,1/\gamma)\).

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[oraux/ex1591] polytechnique MP 2008

1. Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).

   1. Que dire des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) ?

   2. Lier l’aire de \(A'B'C'\) à celle de \(ABC\).

2. Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

   1. Peut-on lier l’aire de \(A'B'C'D'\) à celle de \(ABCD\) ?

   2. Peut-on trouver \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) si l’on connaît \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) ?

[oraux/ex1427] mines 2003 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c>0\).

1. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des côtés d’un triangle ?

2. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des hauteurs d’un triangle ?

3. Reprendre ces questions en imposant que le triangle soit acutangle.