Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1539] tpe PSI 2005 Soient \(ABC\) un triangle quelconque du plan, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=(a+b+c)/2\) et \(S\) l’aire euclidienne de \(ABC\).

1. Montrer que \(4b^2c^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(\widehat A)=(a^2-b^2-c^2)^2\).

2. Montrer que : \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

3. Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{p^2\over3\sqrt3}\) et étudier le cas d’égalité.

[concours/ex2399] mines M 1995 Soit \((A,B,C)\) un triangle de demi-périmètre \(p\) et dont les côtés ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\).

1. Montrer que l’aire du triangle est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

2. Quels sont les triangles de demi-périmètre \(p\) donné et d’aire maximale ?

[concours/ex3305] ens paris M 1993 Soit \(P\) un polygone convexe aux sommets dans \(\mathbf{Z}^2\) d’aire \(S\), \(n\) le nombre de points de \(\mathbf{Z}^2\) strictement intérieurs à \(P\) et \(m\) celui des points de \(\mathbf{Z}^2\) sur la frontière. Calculer \(S\) en fonction de \(m\) et \(n\).

[ensembles/ex0426] Montrer que l’aire d’un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières, et dont les côtés ne se coupent pas, est donnée par \(I+\displaystyle{1\over2}F-1\), où \(I\) et \(F\) sont les points a coordonnées entières se trouvant à l’intérieur et sur la frontière du polygone.

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?