Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1657] mines MP 2009 Trouver les triangles qui à périmètre \(2p\) fixé ont une aire maximale ; calculer cette aire.

Indication : On admet que l’aire d’un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et de demi-périmètre \(p\) est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

[geo.affine/ex0628] Soient \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=\displaystyle{1\over2}(a+b+c)\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(p\).

2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire \(S\) de \(ABC\) : \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

[concours/ex0817] mines MP 1997 On considère un triangle du plan d’aire \(S\) et dont les côtés sont de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\).

[oraux/ex1539] tpe PSI 2005 Soient \(ABC\) un triangle quelconque du plan, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=(a+b+c)/2\) et \(S\) l’aire euclidienne de \(ABC\).

1. Montrer que \(4b^2c^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(\widehat A)=(a^2-b^2-c^2)^2\).

2. Montrer que : \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

3. Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{p^2\over3\sqrt3}\) et étudier le cas d’égalité.

[concours/ex0288] mines MP 1996 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle et \(A\) son aire. Montrer que \(A\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\). Étudier le cas d’égalité.