Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0651] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(r\) le rayon du cercle inscrit dans \(ABC\).

Montrer : \[r={a+b+c\over2\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\right)}.\]

[concours/ex6456] polytechnique MP 2006 On note \(\mathscr{A}\) l’ensemble des triplets \((a,b,c)\) de réels strictement positifs tels que \(a+b\geqslant c\), \(bc\geqslant a\) et \(c+a\geqslant b\).

Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(a,b,c)\in\mathscr{A}}\displaystyle{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\over abc}\). Interprétation géométrique.

[concours/ex5491] polytechnique MP 2007

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\) pour qu’existent trois points \(A\), \(B\), \(C\) du plan euclidien tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}.\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}=\alpha\), \(\mathchoice{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BC}}.\mathchoice{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BA}}=\beta\) et \(\mathchoice{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CA}}.\mathchoice{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CB}}=\gamma\).

2. On suppose la condition précédente réalisée et \(\alpha\beta\gamma\neq0\). Montrer que l’orthocentre \(H\) de \(ABC\) est le barycentre du système pondéré : \((A,1/\alpha)\), \((B,1/\beta)\), \((C,1/\gamma)\).