Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7891] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral, \(M\) un point intérieur à \(ABC\).

Montrer que la somme des distances de \(M\) aux trois côtés du triangle est indépendante du choix du point \(M\).

[concours/ex6207] tpe PSI 2007 Soit \(ABC\) un triangle quelconque d’un plan euclidien. Déterminer le maximum de la fonction \(f\) qui à un point \(M\) intérieur au triangle associe le produit des distances de \(M\) aux trois côtés. En quel point ce maximum est-il atteint ?

[oraux/ex1514] centrale MP 2005

1. Trouver le nombre de régions du plan délimitées par \(n\) droites en position générale.

2. Soit trois droites du plan. Étudier la fonction qui à un point du plan associe la somme des distances à ces droites.

3. Trouver le nombre de régions de l’espace délimitées par \(n\) plans en position générale.

[oraux/ex1414] polytechnique 2003 Soit \(ABC\) un triangle. On définit : \[\begin{array}{rcl}f:ABC &\longrightarrow&\mathbf{R}\\ M&\longmapsto&d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC).\end{array}\] Maximiser \(f\) sur le triangle.

Même question avec \(f:M\mapsto d(M,AB)\times d(M,AC)\times d(M,BC)\).

Même question avec \(f:M\mapsto\|\mathchoice{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MA}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MB}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{MC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MC}}\|\).

[concours/ex6141] centrale PC 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien. Si \(M\) est un point de \(\mathbf{R}^2\), on note \(P\), \(Q\), \(R\) les projections orthogonales de \(M\) sur \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\).

Que dire de \(f:M\mapsto MP+MQ+MR\) ?