Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0213] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\) quelconque. Montrer que : \[3(GA^2+GB^2+GC^2)=AB^2+BC^2+AC^2.\]

[geo.affine/ex0652] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(\beta_A\) (resp. \(\beta_B\), \(\beta_C\)) la longueur de la bissectrice intérieure issue de \(A\) (resp. \(B\), \(C\)).

Montrer : \[\beta_A={2bc\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}\over b+c},\quad \beta_B={2ca\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}\over c+a},\quad \beta_C={2ab\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\over a+b}.\]

[planches/ex1799] polytechnique MP 2017 Soit \(T\) un triangle dont les angles géométriques sont notés \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (éléments de \(\left]0,\pi\right[\)). Montrer que : \[{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha}+{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta}\geqslant{8\over3+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\gamma}.\]

[concours/ex6456] polytechnique MP 2006 On note \(\mathscr{A}\) l’ensemble des triplets \((a,b,c)\) de réels strictement positifs tels que \(a+b\geqslant c\), \(bc\geqslant a\) et \(c+a\geqslant b\).

Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(a,b,c)\in\mathscr{A}}\displaystyle{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\over abc}\). Interprétation géométrique.

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]

[geo.affine/ex0758] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\), de côtés \(a\), \(b\), \(c\). Montrer que si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) et \(R\) son rayon, alors : \[OG^2=R^2-{1\over9}(a^2+b^2+c^2).\]

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[oraux/ex1591] polytechnique MP 2008

1. Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).

   1. Que dire des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) ?

   2. Lier l’aire de \(A'B'C'\) à celle de \(ABC\).

2. Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

   1. Peut-on lier l’aire de \(A'B'C'D'\) à celle de \(ABCD\) ?

   2. Peut-on trouver \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) si l’on connaît \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) ?

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[geo.affine/ex0644] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Calculer les longueurs \(AM\), \(BN\), \(CP\) des médianes de \(ABC\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

[oraux/ex1620] centrale MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et trois droites parallèles \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) passant respectivement par \(A\), \(B\) et \(C\). On suppose que \(D_C\) est située entre \(D_A\) et \(D_B\) et l’on note \(a\) la distance entre \(D_A\) et \(D_C\), \(b\) la distance entre \(D_B\) et \(D_C\). Soit \(p\) le point d’intersection différent de \(C\) de \(D_C\) avec le cercle circonscrit à \(ABC\).

1. Montrer que \(AP=\displaystyle{2\over\sqrt3}a\).

2. Calculer de même \(BP\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(AB\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) en fonction de \(a\) et de \(b\).

[geo.affine/ex0642] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Montrer : \[(BN)\perp(CP)\Longleftrightarrow b^2+c^2=5a^2.\]