Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6141] centrale PC 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien. Si \(M\) est un point de \(\mathbf{R}^2\), on note \(P\), \(Q\), \(R\) les projections orthogonales de \(M\) sur \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\).

Que dire de \(f:M\mapsto MP+MQ+MR\) ?

[oraux/ex1668] mines PSI 2009 Soit \(T\) l’intérieur d’un triangle \(ABC\) quelconque. Soit \(f\) l’application de \(T\) dans \(\mathbf{R}\) qui associe à un point le produit de ses trois distances aux côtés. Déterminer le maximum de \(f\), et les points en lesquels il est atteint.

[oraux/ex1514] centrale MP 2005

1. Trouver le nombre de régions du plan délimitées par \(n\) droites en position générale.

2. Soit trois droites du plan. Étudier la fonction qui à un point du plan associe la somme des distances à ces droites.

3. Trouver le nombre de régions de l’espace délimitées par \(n\) plans en position générale.

[oraux/ex1483] polytechnique MP 2005 On considère un triangle \(ABC\), et un point \(M\) dans ce triangle (à l’intérieur, mais en comptant les trois segments). Quels sont les emplacements de \(M\) tels que le produit des trois distances des \(M\) aux côtés soit extrémal ?

[oraux/ex1414] polytechnique 2003 Soit \(ABC\) un triangle. On définit : \[\begin{array}{rcl}f:ABC &\longrightarrow&\mathbf{R}\\ M&\longmapsto&d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC).\end{array}\] Maximiser \(f\) sur le triangle.

Même question avec \(f:M\mapsto d(M,AB)\times d(M,AC)\times d(M,BC)\).

Même question avec \(f:M\mapsto\|\mathchoice{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MA}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MB}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{MC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MC}}\|\).

[geo.affine/ex0638] Soient \(ABC\) un triangle équilatéral et \(M\) un point à l’intérieur de \(ABC\). Montrer que la somme des distances de \(M\) aux trois côtés de \(ABC\) ne dépend pas de \(M\).

[oraux/ex1581] tpe MP 2006 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan euclidien, \(\mathscr{T}\) le triangle plein de sommets \(A\), \(B\), \(C\) et \(f:M\in\mathscr{T}\mapsto d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC)\). Déterminer \(\{M\in\mathscr{T},\ f(M)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits f\}\).

[concours/ex5316] ens lyon MP 2007 Soient \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien \(\mathscr{P}\). On considère l’application \(d:M\in\mathscr{P}\mapsto AM+BM+CM\).

1. Montrer que \(d\) présente un minimum. On note \(M_0\) un point en lequel ce minimum est atteint.

2. Montrer que si \(M_0\not\in\{A,B,C\}\) les angles \(\widehat{AM_0B}\), \(\widehat{BM_0C}\) et \(\widehat{CM_0A}\) valent \(120^o\) et que les angles du triangle \(ABC\) sont strictement inférieurs à \(120^o\).

3. Montrer que si \(M_0=A\) l’angle \(\widehat{BAC}\) est supérieur ou égal à \(120^o\).

4. Établir l’unicité de \(M_0\).

[concours/ex3785] centrale M 1992 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan. Montrer que l’application numérique \(f\) définie en un point \(M\) du plan par : \[f(M)=AM+BM+CM\] atteint son minimum. Celui-ci est-il unique ? En donner une construction géométrique.

[concours/ex0402] ens paris MP 1996 Soit \(ABC\) un triangle du plan affine euclidien \(\mathscr{P}\). Étudier l’application \(f\) de \(\mathscr{P}\) dans \(\mathbf{R}\) : \(P\mapsto PA+PB+PC\).

[oraux/ex1539] tpe PSI 2005 Soient \(ABC\) un triangle quelconque du plan, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=(a+b+c)/2\) et \(S\) l’aire euclidienne de \(ABC\).

1. Montrer que \(4b^2c^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(\widehat A)=(a^2-b^2-c^2)^2\).

2. Montrer que : \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

3. Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{p^2\over3\sqrt3}\) et étudier le cas d’égalité.

[concours/ex0817] mines MP 1997 On considère un triangle du plan d’aire \(S\) et dont les côtés sont de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\).

[geo.affine/ex0628] Soient \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=\displaystyle{1\over2}(a+b+c)\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(p\).

2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire \(S\) de \(ABC\) : \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

[oraux/ex1657] mines MP 2009 Trouver les triangles qui à périmètre \(2p\) fixé ont une aire maximale ; calculer cette aire.

Indication : On admet que l’aire d’un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et de demi-périmètre \(p\) est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

[concours/ex2399] mines M 1995 Soit \((A,B,C)\) un triangle de demi-périmètre \(p\) et dont les côtés ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\).

1. Montrer que l’aire du triangle est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

2. Quels sont les triangles de demi-périmètre \(p\) donné et d’aire maximale ?

[concours/ex0288] mines MP 1996 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle et \(A\) son aire. Montrer que \(A\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\). Étudier le cas d’égalité.

[concours/ex5755] mines MP 2007 Soit \(ABC\) un triangle du plan euclidien de côtés \(a\), \(b\), \(c\), de périmètre \(p\) et d’aire \(S\). Montrer : \[S\leqslant{p^2\over12\sqrt3}\quad\hbox{et}\quad S\leqslant{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}.\] Étudier les cas d’égalité.

[planches/ex7649] ens lyon MP 2022 On se place dans \(\mathbf{R}^2\). Les éléments de \(\mathbf{Z}^2\) sont les points entiers. On appelle polygone entier un polygone dont les sommets sont des points entiers. Montrer que l’aire d’un polygone entier est égale à \(i+\displaystyle{k\over2}-1\) où \(i\) est le nombre de points entiers à l’intérieur (strict) du polygone et \(k\) le nombre de points entiers sur le bord du polygone.

[oraux/ex1749] ens paris 2003 Soit \(P\) un polygone convexe de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On note \(\partial P\) le bord de \(P\) et, pour \(S\subset\mathbf{R}^2\), \(N(S)=|S\cap\mathbf{Z}^2|\).

Donner une relation entre \(N(P)\), \(N(\partial P)\) et l’aire de \(P\).

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?