Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1427] mines 2003 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c>0\).

1. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des côtés d’un triangle ?

2. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des hauteurs d’un triangle ?

3. Reprendre ces questions en imposant que le triangle soit acutangle.

[complexes/ex0213] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\) quelconque. Montrer que : \[3(GA^2+GB^2+GC^2)=AB^2+BC^2+AC^2.\]

[oraux/ex1455] polytechnique 2004 Soit \(ABC\) un triangle de périmètre \(p\).

1. Rappeler la définition du cercle inscrit du triangle \(ABC\). Soient \(I\) le centre de cercle et \(r\) son rayon.

2. Montrer que \(BC\,\mathchoice{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IA}}+CA\,\mathchoice{\overrightarrow{IB}}{\overrightarrow{IB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IB}}+AB\,\mathchoice{\overrightarrow{IC}}{\overrightarrow{IC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IC}}=\vec0\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) à l’aide de \(r\) et \(p\).

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]