Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0641] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat A\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat B\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat C\over 2}\leqslant{1\over8},\] et étudier le cas d’égalité.

[oraux/ex1594] polytechnique MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle du plan. On note \(\widehat A\), \(\widehat B\) et \(\widehat C\) les angles des sommets respectifs \(A\), \(B\) et \(C\), et \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés \(BC\), \(AC\), \(AB\).

1. Montrer que la quantité « hauteur \(\times\) côté opposé » ne dépend pas du sommet à partir duquel elle est calculée.

2. Soit \(R\) le rayon du cercle circonscrit au triangle. Montrer : \[2R={a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}.\]

3. En déduire une relation simple entre aire, rayon du cercle circonscrit et côtés du triangle.

[examen/ex2805] ens paris MP 2025 Soient \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) dans \(\mathbf{R}^{+*}\). Quelle est l’aire maximale d’un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ?

[geo.affine/ex0648] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer : \[R={a\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}={a+b+c\over2(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C)}.\]

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]