Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0288] mines MP 1996 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle et \(A\) son aire. Montrer que \(A\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\). Étudier le cas d’égalité.

[concours/ex5755] mines MP 2007 Soit \(ABC\) un triangle du plan euclidien de côtés \(a\), \(b\), \(c\), de périmètre \(p\) et d’aire \(S\). Montrer : \[S\leqslant{p^2\over12\sqrt3}\quad\hbox{et}\quad S\leqslant{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}.\] Étudier les cas d’égalité.

[concours/ex2469] ens cachan M 1995 Soit \(P\) un polygone convexe du plan dont les sommets ont des coordonnées entières. On note \(A(P)\) l’aire de ce polygone, \(N(P)\) le nombre de points à coordonnées entières dans « l’intérieur » du polygone (frontière comprise), et \(D(P)\) le nombre des points à coordonnées entières qui sont sur la frontière. Montrer la formule : \[A(P)=N(P)-{1\over2}D(P)-1.\]

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?

[concours/ex3305] ens paris M 1993 Soit \(P\) un polygone convexe aux sommets dans \(\mathbf{Z}^2\) d’aire \(S\), \(n\) le nombre de points de \(\mathbf{Z}^2\) strictement intérieurs à \(P\) et \(m\) celui des points de \(\mathbf{Z}^2\) sur la frontière. Calculer \(S\) en fonction de \(m\) et \(n\).