Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex0755] Dans le plan usuel, rapporté à un repère orthonormé, soit les droites : \[D_1\ :\ 3x+y-5=0,\quad D_2\ :\ x-2y+3=0,\quad D_3\ :\ 4x-y-9=0.\] Déterminer l’aire du triangle déterminé par les trois droites.

[geo.affine/ex0758] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\), de côtés \(a\), \(b\), \(c\). Montrer que si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) et \(R\) son rayon, alors : \[OG^2=R^2-{1\over9}(a^2+b^2+c^2).\]

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]