Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex1170] Montrer que l’aire d’un quadrilatère est la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l’angle entre elles.

[planches/ex1799] polytechnique MP 2017 Soit \(T\) un triangle dont les angles géométriques sont notés \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (éléments de \(\left]0,\pi\right[\)). Montrer que : \[{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha}+{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta}\geqslant{8\over3+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\gamma}.\]

[oraux/ex1427] mines 2003 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c>0\).

1. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des côtés d’un triangle ?

2. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des hauteurs d’un triangle ?

3. Reprendre ces questions en imposant que le triangle soit acutangle.

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]