Édition de feuilles d'exercices

[geo.affine/ex0640] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer que \(ABC\) est rectangle si et seulement si : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2\widehat C=1.\]

[geo.affine/ex0758] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\), de côtés \(a\), \(b\), \(c\). Montrer que si \(O\) est le centre du cercle circonscrit à \(ABC\) et \(R\) son rayon, alors : \[OG^2=R^2-{1\over9}(a^2+b^2+c^2).\]

[oraux/ex9506] centrale PSI 2014 Soient \(ABC\) un triangle, \(T\) l’ensemble des points intérieurs à \(ABC\) et \(S\) l’aire de \(ABC\). On note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), \(r(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((BC)\), \(q(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AC)\), et \(p(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AB)\).

1. Montrer que : \(ar(M)+bq(M)+cp(M)=2S\).

2. Montrer que \(M\mapsto r(M)q(M)p(M)\) atteint un maximum sur \(T\).

3. En quels points ce maximum est-il atteint ?

[oraux/ex1620] centrale MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et trois droites parallèles \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) passant respectivement par \(A\), \(B\) et \(C\). On suppose que \(D_C\) est située entre \(D_A\) et \(D_B\) et l’on note \(a\) la distance entre \(D_A\) et \(D_C\), \(b\) la distance entre \(D_B\) et \(D_C\). Soit \(p\) le point d’intersection différent de \(C\) de \(D_C\) avec le cercle circonscrit à \(ABC\).

1. Montrer que \(AP=\displaystyle{2\over\sqrt3}a\).

2. Calculer de même \(BP\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(AB\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) en fonction de \(a\) et de \(b\).

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]