Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1455] polytechnique 2004 Soit \(ABC\) un triangle de périmètre \(p\).

1. Rappeler la définition du cercle inscrit du triangle \(ABC\). Soient \(I\) le centre de cercle et \(r\) son rayon.

2. Montrer que \(BC\,\mathchoice{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IA}}+CA\,\mathchoice{\overrightarrow{IB}}{\overrightarrow{IB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IB}}+AB\,\mathchoice{\overrightarrow{IC}}{\overrightarrow{IC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IC}}=\vec0\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) à l’aide de \(r\) et \(p\).

[geo.affine/ex0642] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Montrer : \[(BN)\perp(CP)\Longleftrightarrow b^2+c^2=5a^2.\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]