Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6456] polytechnique MP 2006 On note \(\mathscr{A}\) l’ensemble des triplets \((a,b,c)\) de réels strictement positifs tels que \(a+b\geqslant c\), \(bc\geqslant a\) et \(c+a\geqslant b\).

Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{(a,b,c)\in\mathscr{A}}\displaystyle{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\over abc}\). Interprétation géométrique.

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex1327] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\), \(r\) celui du cercle inscrit, et \(S\) l’aire de \(ABC\).

Montrer : \[R={abc\over4S},\quad r={2S\over a+b+c},\quad2Rr(a+b+c)=abc.\]

[oraux/ex1620] centrale MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et trois droites parallèles \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) passant respectivement par \(A\), \(B\) et \(C\). On suppose que \(D_C\) est située entre \(D_A\) et \(D_B\) et l’on note \(a\) la distance entre \(D_A\) et \(D_C\), \(b\) la distance entre \(D_B\) et \(D_C\). Soit \(p\) le point d’intersection différent de \(C\) de \(D_C\) avec le cercle circonscrit à \(ABC\).

1. Montrer que \(AP=\displaystyle{2\over\sqrt3}a\).

2. Calculer de même \(BP\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(AB\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) en fonction de \(a\) et de \(b\).

[oraux/ex9506] centrale PSI 2014 Soient \(ABC\) un triangle, \(T\) l’ensemble des points intérieurs à \(ABC\) et \(S\) l’aire de \(ABC\). On note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), \(r(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((BC)\), \(q(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AC)\), et \(p(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AB)\).

1. Montrer que : \(ar(M)+bq(M)+cp(M)=2S\).

2. Montrer que \(M\mapsto r(M)q(M)p(M)\) atteint un maximum sur \(T\).

3. En quels points ce maximum est-il atteint ?