Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1427] mines 2003 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c>0\).

1. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des côtés d’un triangle ?

2. À quelle condition \(a\), \(b\), \(c\) sont-ils les longueurs des hauteurs d’un triangle ?

3. Reprendre ces questions en imposant que le triangle soit acutangle.

[planches/ex1799] polytechnique MP 2017 Soit \(T\) un triangle dont les angles géométriques sont notés \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (éléments de \(\left]0,\pi\right[\)). Montrer que : \[{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha}+{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta}\geqslant{8\over3+2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\gamma}.\]

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[geo.affine/ex0644] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Calculer les longueurs \(AM\), \(BN\), \(CP\) des médianes de \(ABC\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

[oraux/ex1591] polytechnique MP 2008

1. Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).

   1. Que dire des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) ?

   2. Lier l’aire de \(A'B'C'\) à celle de \(ABC\).

2. Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

   1. Peut-on lier l’aire de \(A'B'C'D'\) à celle de \(ABCD\) ?

   2. Peut-on trouver \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) si l’on connaît \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) ?

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[geo.affine/ex0651] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(r\) le rayon du cercle inscrit dans \(ABC\).

Montrer : \[r={a+b+c\over2\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}+\mathop{\mathchoice{\hbox{cotan}}{\hbox{cotan}}{\mathrm{cotan}}{\mathrm{cotan}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\right)}.\]

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[geo.affine/ex0642] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Montrer : \[(BN)\perp(CP)\Longleftrightarrow b^2+c^2=5a^2.\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]

[oraux/ex1490] polytechnique MP 2005 Soient \((A,B,C)\) un repère affine du plan \(\mathscr{P}\), et \(O\), \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) quatre points de \(\mathscr{P}\). On suppose : \(\forall i\in\{1,2,3\}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OM_i}}{\overrightarrow{OM_i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM_i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM_i}}=x_i\mathchoice{\overrightarrow{OA}}{\overrightarrow{OA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA}}+y_i\mathchoice{\overrightarrow{OB}}{\overrightarrow{OB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OB}}+z_i\mathchoice{\overrightarrow{OC}}{\overrightarrow{OC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OC}}\), où \((x_i,y_i,z_i)\in\mathbf{R}^3\) vérifie \(x_i+y_i+z_i=1\). Montrer que : \[\left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array} \right|=\pm{\hbox{Aire}(M_1M_2M_3)\over\hbox{Aire}(ABC)}.\]

[concours/ex5491] polytechnique MP 2007

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbf{R}\) pour qu’existent trois points \(A\), \(B\), \(C\) du plan euclidien tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}.\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}=\alpha\), \(\mathchoice{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BC}}.\mathchoice{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle BA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle BA}}=\beta\) et \(\mathchoice{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CA}}.\mathchoice{\overrightarrow{CB}}{\overrightarrow{CB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle CB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle CB}}=\gamma\).

2. On suppose la condition précédente réalisée et \(\alpha\beta\gamma\neq0\). Montrer que l’orthocentre \(H\) de \(ABC\) est le barycentre du système pondéré : \((A,1/\alpha)\), \((B,1/\beta)\), \((C,1/\gamma)\).

[oraux/ex1620] centrale MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral et trois droites parallèles \(D_A\), \(D_B\), \(D_C\) passant respectivement par \(A\), \(B\) et \(C\). On suppose que \(D_C\) est située entre \(D_A\) et \(D_B\) et l’on note \(a\) la distance entre \(D_A\) et \(D_C\), \(b\) la distance entre \(D_B\) et \(D_C\). Soit \(p\) le point d’intersection différent de \(C\) de \(D_C\) avec le cercle circonscrit à \(ABC\).

1. Montrer que \(AP=\displaystyle{2\over\sqrt3}a\).

2. Calculer de même \(BP\) en fonction de \(b\) et en déduire la valeur de \(AB\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) en fonction de \(a\) et de \(b\).