Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0213] Soit \(G\) le centre de gravité d’un triangle \(ABC\) quelconque. Montrer que : \[3(GA^2+GB^2+GC^2)=AB^2+BC^2+AC^2.\]

[concours/ex3551] polytechnique M 1992 Soit trois droites du plan euclidien définies par leurs équations dans un repère orthonormé : \[ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0,\quad a''x+b''y+c''=0.\] Soit \(S\) l’aire du triangle formé par ces trois droites. Montrer que : \[2S={\left| \begin{array}{ccc}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{array} \right|^{\!2}\over \left|\vphantom{|_|}(ab'-a'b)(ab''-a''b)(a'b''-a''b')\right|}.\]

[geo.affine/ex0642] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(M\), \(N\), \(P\) les milieux respectifs de \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Montrer : \[(BN)\perp(CP)\Longleftrightarrow b^2+c^2=5a^2.\]

[geo.affine/ex0649] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(S\) l’aire de \(ABC\), et \(r_A\) (resp. \(r_B\), \(r_C\)) le rayon du cercle exinscrit dans l’angle \(\widehat A\) (resp. \(\widehat B\), \(\widehat C\)) de \(ABC\).

Montrer : \[r_A={2S\over-a+b+c},\quad r_B={2S\over a-b+c},\quad r_C={2S\over a+b-c}.\]

[concours/ex5762] mines MP 2007 Trois droites \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\) se coupent en formant un triangle équilatéral de côté \(a\). Si \(M_1\), \(M_2\), et \(M_3\) appartiennent respectivement à \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\) et \(\mathscr{D}_3\), on note \(S(M_1,M_2,M_3)=\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant 3}M_iM_j^2\). Montrer que \(S\) possède un minimum global. En quels points est-il atteint ?

[geo.affine/ex1327] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\), \(r\) celui du cercle inscrit, et \(S\) l’aire de \(ABC\).

Montrer : \[R={abc\over4S},\quad r={2S\over a+b+c},\quad2Rr(a+b+c)=abc.\]

[geo.affine/ex0650] Soit \(ABC\) un triangle ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer la formule de Carnot : \[R+r=R(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat C).\]

[oraux/ex9506] centrale PSI 2014 Soient \(ABC\) un triangle, \(T\) l’ensemble des points intérieurs à \(ABC\) et \(S\) l’aire de \(ABC\). On note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\), \(r(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((BC)\), \(q(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AC)\), et \(p(M)\) la distance de \(M\) à la droite \((AB)\).

1. Montrer que : \(ar(M)+bq(M)+cp(M)=2S\).

2. Montrer que \(M\mapsto r(M)q(M)p(M)\) atteint un maximum sur \(T\).

3. En quels points ce maximum est-il atteint ?

[oraux/ex1591] polytechnique MP 2008

1. Soit \(ABC\) un triangle. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\) et \([AB]\).

   1. Que dire des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) ?

   2. Lier l’aire de \(A'B'C'\) à celle de \(ABC\).

2. Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) et \([DA]\).

   1. Peut-on lier l’aire de \(A'B'C'D'\) à celle de \(ABCD\) ?

   2. Peut-on trouver \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) si l’on connaît \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) ?

[oraux/ex1455] polytechnique 2004 Soit \(ABC\) un triangle de périmètre \(p\).

1. Rappeler la définition du cercle inscrit du triangle \(ABC\). Soient \(I\) le centre de cercle et \(r\) son rayon.

2. Montrer que \(BC\,\mathchoice{\overrightarrow{IA}}{\overrightarrow{IA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IA}}+CA\,\mathchoice{\overrightarrow{IB}}{\overrightarrow{IB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IB}}+AB\,\mathchoice{\overrightarrow{IC}}{\overrightarrow{IC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle IC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle IC}}=\vec0\).

3. Exprimer l’aire de \(ABC\) à l’aide de \(r\) et \(p\).