Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0548] tpe, int, ivp MP 1996 On considère un triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) et d’aire \(S\). Montrer que \[16S^2=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)\,.\] En déduire que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\) et traiter le cas d’égalité.

[oraux/ex1476] polytechnique MP 2005 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle d’aire \(s\). Montrer que : \[16s^2=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).\]

[oraux/ex1621] centrale MP 2008 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan affine euclidien orienté, \(S\) l’aire du triangle \(ABC\), \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\).

1. Exprimer \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\wedge\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|^2+\langle\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}},\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\rangle^2\) en fonction de \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AB}}\|\) et \(\|\mathchoice{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle AC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle AC}}\|\).

2. Montrer \(S^2=\displaystyle{(a^2+b^2+c^2)^2\over16}-{a^4+b^4+c^4\over8}\).

3. Montrer : \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over12}(a^2+b^2+c^2)\).

[concours/ex6453] polytechnique MP 2006

1. Soit \(P(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-2(xy)^2-2(yz)^2-2(xz)^2\). Factoriser \(P\).

2. Soit \(ABC\) un triangle dont les longueurs des côtés sont \(a\), \(b\), \(c\). On note \(S\) son aire. Montrer que \(P(a,b,c)=-16S^2\).

[examen/ex0241] mines PC 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) des réels positifs avec \(\alpha+\beta+\gamma=\displaystyle\frac\pi2\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\beta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\gamma\leqslant\displaystyle\frac18\).

[geo.affine/ex0641] Soit \(ABC\) un triangle.

Montrer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat A\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat B\over 2}\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits{\widehat C\over 2}\leqslant{1\over8},\] et étudier le cas d’égalité.

[concours/ex5495] polytechnique MP 2007 On connaît les côtés d’un quadrilatère convexe articulé. Quelle est la configuration qui maximise l’aire du quadrilatère ?

[geo.affine/ex0648] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\).

Montrer : \[R={a\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}={a+b+c\over2(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C)}.\]

[oraux/ex1594] polytechnique MP 2008 Soit \(ABC\) un triangle du plan. On note \(\widehat A\), \(\widehat B\) et \(\widehat C\) les angles des sommets respectifs \(A\), \(B\) et \(C\), et \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés \(BC\), \(AC\), \(AB\).

1. Montrer que la quantité « hauteur \(\times\) côté opposé » ne dépend pas du sommet à partir duquel elle est calculée.

2. Soit \(R\) le rayon du cercle circonscrit au triangle. Montrer : \[2R={a\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A}={b\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat B}={c\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat C}.\]

3. En déduire une relation simple entre aire, rayon du cercle circonscrit et côtés du triangle.

[geo.affine/ex0652] Soit \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) ; on note \(\beta_A\) (resp. \(\beta_B\), \(\beta_C\)) la longueur de la bissectrice intérieure issue de \(A\) (resp. \(B\), \(C\)).

Montrer : \[\beta_A={2bc\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat A\over2}\over b+c},\quad \beta_B={2ca\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat B\over2}\over c+a},\quad \beta_C={2ab\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\displaystyle{\widehat C\over2}\over a+b}.\]