Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5755] mines MP 2007 Soit \(ABC\) un triangle du plan euclidien de côtés \(a\), \(b\), \(c\), de périmètre \(p\) et d’aire \(S\). Montrer : \[S\leqslant{p^2\over12\sqrt3}\quad\hbox{et}\quad S\leqslant{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}.\] Étudier les cas d’égalité.

[concours/ex0288] mines MP 1996 Soient \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs des côtés d’un triangle et \(A\) son aire. Montrer que \(A\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\). Étudier le cas d’égalité.

[concours/ex0817] mines MP 1997 On considère un triangle du plan d’aire \(S\) et dont les côtés sont de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\). Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{\sqrt3\over4}(abc)^{2/3}\).

[geo.affine/ex0628] Soient \(ABC\) un triangle, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=\displaystyle{1\over2}(a+b+c)\).

1. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\widehat A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\widehat A\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\), \(p\).

2. En déduire la formule de Héron donnant l’aire \(S\) de \(ABC\) : \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

[oraux/ex1539] tpe PSI 2005 Soient \(ABC\) un triangle quelconque du plan, \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p=(a+b+c)/2\) et \(S\) l’aire euclidienne de \(ABC\).

1. Montrer que \(4b^2c^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(\widehat A)=(a^2-b^2-c^2)^2\).

2. Montrer que : \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

3. Montrer que \(S\leqslant\displaystyle{p^2\over3\sqrt3}\) et étudier le cas d’égalité.

[concours/ex2399] mines M 1995 Soit \((A,B,C)\) un triangle de demi-périmètre \(p\) et dont les côtés ont pour longueurs \(a\), \(b\), \(c\).

1. Montrer que l’aire du triangle est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

2. Quels sont les triangles de demi-périmètre \(p\) donné et d’aire maximale ?

[oraux/ex1657] mines MP 2009 Trouver les triangles qui à périmètre \(2p\) fixé ont une aire maximale ; calculer cette aire.

Indication : On admet que l’aire d’un triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) et de demi-périmètre \(p\) est \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

[concours/ex3305] ens paris M 1993 Soit \(P\) un polygone convexe aux sommets dans \(\mathbf{Z}^2\) d’aire \(S\), \(n\) le nombre de points de \(\mathbf{Z}^2\) strictement intérieurs à \(P\) et \(m\) celui des points de \(\mathbf{Z}^2\) sur la frontière. Calculer \(S\) en fonction de \(m\) et \(n\).

[concours/ex5315] ens paris MP 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle de \(\mathbf{R}^2\) dont les sommets sont dans \(\mathbf{Z}^2\). On suppose que le triangle plein \(ABC\) ne contient pas d’autre point de \(\mathbf{Z}^2\). Quelle est l’aire de \(ABC\) ?

[planches/ex7649] ens lyon MP 2022 On se place dans \(\mathbf{R}^2\). Les éléments de \(\mathbf{Z}^2\) sont les points entiers. On appelle polygone entier un polygone dont les sommets sont des points entiers. Montrer que l’aire d’un polygone entier est égale à \(i+\displaystyle{k\over2}-1\) où \(i\) est le nombre de points entiers à l’intérieur (strict) du polygone et \(k\) le nombre de points entiers sur le bord du polygone.