Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1414] polytechnique 2003 Soit \(ABC\) un triangle. On définit : \[\begin{array}{rcl}f:ABC &\longrightarrow&\mathbf{R}\\ M&\longmapsto&d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC).\end{array}\] Maximiser \(f\) sur le triangle.

Même question avec \(f:M\mapsto d(M,AB)\times d(M,AC)\times d(M,BC)\).

Même question avec \(f:M\mapsto\|\mathchoice{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MA}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MA}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MA}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MB}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MB}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MB}}\|+\|\mathchoice{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{MC}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle MC}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle MC}}\|\).

[concours/ex6207] tpe PSI 2007 Soit \(ABC\) un triangle quelconque d’un plan euclidien. Déterminer le maximum de la fonction \(f\) qui à un point \(M\) intérieur au triangle associe le produit des distances de \(M\) aux trois côtés. En quel point ce maximum est-il atteint ?

[concours/ex6141] centrale PC 2007 Soit \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien. Si \(M\) est un point de \(\mathbf{R}^2\), on note \(P\), \(Q\), \(R\) les projections orthogonales de \(M\) sur \((AB)\), \((BC)\), \((CA)\).

Que dire de \(f:M\mapsto MP+MQ+MR\) ?

[planches/ex7891] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(ABC\) un triangle équilatéral, \(M\) un point intérieur à \(ABC\).

Montrer que la somme des distances de \(M\) aux trois côtés du triangle est indépendante du choix du point \(M\).

[oraux/ex1514] centrale MP 2005

1. Trouver le nombre de régions du plan délimitées par \(n\) droites en position générale.

2. Soit trois droites du plan. Étudier la fonction qui à un point du plan associe la somme des distances à ces droites.

3. Trouver le nombre de régions de l’espace délimitées par \(n\) plans en position générale.

[oraux/ex1483] polytechnique MP 2005 On considère un triangle \(ABC\), et un point \(M\) dans ce triangle (à l’intérieur, mais en comptant les trois segments). Quels sont les emplacements de \(M\) tels que le produit des trois distances des \(M\) aux côtés soit extrémal ?

[oraux/ex1581] tpe MP 2006 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan euclidien, \(\mathscr{T}\) le triangle plein de sommets \(A\), \(B\), \(C\) et \(f:M\in\mathscr{T}\mapsto d(M,AB)+d(M,AC)+d(M,BC)\). Déterminer \(\{M\in\mathscr{T},\ f(M)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits f\}\).

[concours/ex0402] ens paris MP 1996 Soit \(ABC\) un triangle du plan affine euclidien \(\mathscr{P}\). Étudier l’application \(f\) de \(\mathscr{P}\) dans \(\mathbf{R}\) : \(P\mapsto PA+PB+PC\).

[concours/ex5316] ens lyon MP 2007 Soient \(ABC\) un vrai triangle du plan euclidien \(\mathscr{P}\). On considère l’application \(d:M\in\mathscr{P}\mapsto AM+BM+CM\).

1. Montrer que \(d\) présente un minimum. On note \(M_0\) un point en lequel ce minimum est atteint.

2. Montrer que si \(M_0\not\in\{A,B,C\}\) les angles \(\widehat{AM_0B}\), \(\widehat{BM_0C}\) et \(\widehat{CM_0A}\) valent \(120^o\) et que les angles du triangle \(ABC\) sont strictement inférieurs à \(120^o\).

3. Montrer que si \(M_0=A\) l’angle \(\widehat{BAC}\) est supérieur ou égal à \(120^o\).

4. Établir l’unicité de \(M_0\).

[concours/ex3785] centrale M 1992 Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan. Montrer que l’application numérique \(f\) définie en un point \(M\) du plan par : \[f(M)=AM+BM+CM\] atteint son minimum. Celui-ci est-il unique ? En donner une construction géométrique.