Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).