Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7130] centrale PSI 2014 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation : \(X^2+X=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).

[oraux/ex6026] hec T 2014

1. Question de cours : Définition d’une matrice inversible.

   On note \(\mathscr{C}\) l’ensemble des matrices \(A\) carrées d’ordre 2 pour lesquelles il existe une matrice \(B\) carrée d’ordre 2 telle que \(B^2=A\). On note \(I\) la matrice identité d’ordre 2.

2. Montrer que si \(B^2=A\), alors \(AB=BA\).

3. Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire que pour tout réel \(r\), on a : \(rI\in\mathscr{C}\).

4. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts et \(A=\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)\).

   1. Déterminer les matrices qui commutent avec \(A\) (deux matrices \(X\) et \(Y\) commutent si \(XY=YX\)).

   2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour que \(A\) appartienne à \(\mathscr{C}\).

5. Pour chacune des deux matrices suivantes, indiquer si elle appartient à \(\mathscr{C}\) : \(\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), \(\left(\begin{array}{cc}-1&1\\0&-1\end{array}\right)\).

6. Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre 2 appartenant à \(\mathscr{C}\) et soit \(P\) une matrice inversible d’ordre 2, d’inverse \(P^{-1}\). On pose : \(D=P^{-1}AP\). Montrer que \(D\) appartient à \(\mathscr{C}\).

[concours/ex8412] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Soient \(A\), \(B\), \(C\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_n(K)\) tel que \(C=AXB\).

[oraux/ex6010] hec E 2014

1. Question de cours : Définition de deux matrices semblables.

   Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbf{R}\) de dimension 2. On note \(\mathscr{L}(E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\).

   Pour toute matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), on note \(D\) et \(T\) les deux applications suivantes : \[D:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto ad-bc\quad\hbox{et}\quad T:\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\rightarrow\mathbf{R},\ A\mapsto a+d.\]

2. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

   1. Exprimer \(D(AB)\) en fonction de \(D(A)\) et \(D(B)\). Montrer que \(T(AB)=T(BA)\).

   2. En déduire que si \(A\) et \(B\) sont semblables, on a \(D(A)=D(B)\) et \(T(A)=T(B)\).

3. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits D\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\). Quelle est la dimension de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\) ?

   Dorénavant, si \(u\in\mathscr{L}(E)\) de matrice \(A\) dans une base \(\mathscr{B}\) de \(E\), on note : \(D(u)=D(A)\) et \(T(u)=T(A)\).

4. On note \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\) l’endomorphisme identité de \(E\). Exprimer \(u^2=u\mathbin{\circ} u\) en fonction de \(u\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

5. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) et \(\mathscr{S}_0=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=0\}\).

   Montrer que \(\mathscr{S}_0\) est un espace vectoriel contenant \(\{P(u),\ P\in\mathbf{R}[X]\}\).

6. Soit \(u\in\mathscr{L}(E)\) avec \(u\neq0\). On pose : \(\mathscr{S}=\{v\in\mathscr{L}(E)\mid u\mathbin{\circ} v-v\mathbin{\circ} u=u\}\).

   1. Montrer que si \(\mathscr{S}\) est non vide, alors l’endomorphisme \(u\) ne peut pas être bijectif. En déduire une condition nécessaire portant sur \(u^2\) pour que \(\mathscr{S}\) soit non vide.

   2. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Établir l’existence d’une base \(\mathscr{B}_1=(e_1,e_2)\) de \(E\) dans laquelle la matrice \(M_u\) de \(u\) s’écrit \(M_u=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) et déterminer la forme générale de la matrice des éléments \(v\) de \(\mathscr{S}\) dans cette même base.

   3. On suppose que \(\mathscr{S}\) est non vide. Montrer que \(\mathscr{S}=\{v_0+\alpha\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E+\beta u,\ \alpha,\ \beta\in\mathbf{R}\}\) où \(v_0\) est un endomorphisme non inversible de \(E\) à déterminer.

[ev.algebre/ex1104] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}3&1\\2&1\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}5&3\\ -2&-1\end{array}\right).\]

[ev.algebre/ex1106] Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) : \[XY=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad YX=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right).\]

[oraux/ex7755] mines MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})\) : \(M^2=\pmatrix{\overline4&\overline2\cr\overline4&\overline1}\).

[concours/ex8408] centrale 2004 Le corps de base \(\mathbf{K}\) étant celui des réels, puis celui des complexes, trouver les couples \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})^2\) tels que \({}^tXYX={}^tYXY=I_n\).

[oraux/ex7230] mines PC 2015 Soient \(A\), \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tels que \(AB-BA=B^2\).

1. Pour \(k\in\mathbf{N}^*\), calculer \(AB^k-B^kA\).

2. En déduire : \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(AP(B)-P(B)A=B^2P'(B)\).

[ev.algebre/ex1228] Soit \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\26&27\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) telle que \(A^3=B\).