Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7309] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(A\in\mathscr{M}_{s,t}(\mathbf{R})\). Montrer l’existence de \(M\in\mathscr{M}_{t,s}(\mathbf{R})\) telle que \(A=AMA\). Y a-t-il unicité ?

[oraux/ex6907] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Caractériser les \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(MBM=M\).

[concours/ex8434] polytechnique, ens cachan PSI 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(AUA=A\).

[oraux/ex4811] escp courts 2012 Soient \(A\), \(B \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telles que pour toute matrice \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), \(A M B = 0\).

Montrer que \(A = 0\) ou \(B = 0\).

[concours/ex9071] escp courts 2010 Trouver toutes les matrices \(M\) de \({\cal M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex1246] Soit \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&8&5\\0&9&5\\0&0&4\end{array}\right)\). Trouver une matrice \(A\) dont les éléments diagonaux sont strictement positifs, telle que \(A^2=B\).

[concours/ex8410] centrale 2004 Étudier les couples \((A,B)\) de matrices carrées complexes d’ordre \(n\) telles que \(A^2=B^2=-I\) et \(AB+BA=0\).

[planches/ex3621] mines PSI 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A^2\neq0\). Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}*\), il existe \(B\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telle que \(A=B^n\).

[oraux/ex7112] mines PC 2014 Trouver les couples \((A,B)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})^2\) tels que \(AB=BA=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

[concours/ex8500] centrale MP 2005

1. Soit \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(AB=BA\). Montrer que \(A\in\mathbf{C}[B]\) ou \(B\in\mathbf{C}[A]\).

2. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) ?

3. Peut-on étendre ce résultat à \(\mathscr{M}_2(\mathbf{K})\), \(\mathbf{K}\) étant un sous-corps de \(\mathbf{C}\) ?