Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8571] centrale MP 2006 Quels sont les \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) telles que : \(\exists B\in\mathscr{M}_n(K)\setminus\{0\}\), \(AB=BA=0\) ?

[oraux/ex7064] polytechnique, espci PC 2014 Déterminer les matrices symétriques et nilpotentes de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[oraux/ex6911] polytechnique, espci PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=BA=0\).

[oraux/ex6950] mines PC 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non inversible.

1. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(AB=0\) et \(BA=0\) ?

2. Déterminer la dimension de \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R}),\ AB=BA=0\}\).

[concours/ex3267] ens cachan M 1993 Résoudre \(X^2=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex8774] polytechnique MP 2009 Soit \(P\in\mathbf{R}_2[X]\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(P(M)=0\).

[oraux/ex7585] mines PC 2014 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).

[oraux/ex6904] polytechnique, espci PC 2013 Si \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=X\) ?

[oraux/ex7166] polytechnique MP 2015 Toute matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle le carré d’une matrice de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex4811] escp courts 2012 Soient \(A\), \(B \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) telles que pour toute matrice \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), \(A M B = 0\).

Montrer que \(A = 0\) ou \(B = 0\).