Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex1012] Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{S}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^2=I_2\).

[oraux/ex7088] mines MP 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\). Déterminer tous les polynômes \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tels que \(P(J)=K\).

[examen/ex1002] hec courts S 2024

1. Soit \(P(x)\in\mathbf{R}[x]\) un polynôme. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(P\) définisse une fonction injective, respectivement surjective sur \(\mathbf{R}\).

2. On définit une fonction sur \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) par \(M\longmapsto P(M)\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Montrer que cette fonction n’est jamais injective si le degré de \(P\) est supérieur à 2.

[concours/ex4357] hec E 2006 Soit \(A\) la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&0&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La matrice \(A\) est-elle inversible ?

2. Déterminer tous les entiers naturels \(p\) et \(q\) tels que \(A^{2p+1}=A^{2q}\).

3. Existe-t-il un entier \(n\) de \(\mathbf{N}\) tel que \(M^n=A\) si :

   1. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&1&1\\1&2&3\end{array}\right)\)

   2. \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&1\end{array}\right)\) ?

[oraux/ex7130] centrale PSI 2014 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation : \(X^2+X=\pmatrix{1&2\cr2&1}\).

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[ev.algebre/ex1245] Trouver toutes les matrices carrées réelles telles que \(A^2=B\), où \[B=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\0&-9 \end{array}\right).\]

[oraux/ex6891] polytechnique MP 2013 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^5-B^3AB^2=B\). Montrer que \(B=0\).

[oraux/ex7316] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice non nulle à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et \(M=I_n+3P\). Montrer que \(M^3\neq I_n\). Plus généralement, montrer, pour \(k\in\mathbf{N}\), que \(M^{3^k}\neq I_n\).

[oraux/ex7005] petites mines PSI 2013 Soit \(A=\pmatrix{1&3&5\cr2&4&6\cr3&5&7}\). Trouver toutes les matrices \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).