Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3331] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB+A+B=0\).

1. On suppose \(A\) diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que \(B\) est diagonale.

2. La propriété est-elle vraie si \(A\) est seulement diagonale ?

[oraux/ex8571] imt MP 2016 Soit \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(M^3-2M=D\).

[oraux/ex5465] mines PC 2012 Soient \(A\) et \(B\) dans \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) et \((*)\) la condition \(A^2B=A\) \(\Leftrightarrow\) \(BA^2=A\).

1. Si \(A\) et \(B\) sont dans \({\cal S}_n(\mathbf{R})\), la condition \((*)\) est-elle vérifiée ?

2. Donner une condition suffisante pour que \((*)\) soit vérifiée.

3. Donner un exemple de couple \((A,B)\) tel que \(A^2B=A\) et \(BA^2\ne A\).

[oraux/ex6019] hec courts E 2014 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).

1. Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(AD=DA\).

2. En déduire les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^3-2M=D\).

[planches/ex6554] polytechnique, espci PC 2021 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(B)\) et \(A^2B=A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A^2)\).

2. Montrer que \(\mathbf{C}^n=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(A)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(B)\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\).

3. Montrer que \(B^2A=B\).